Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) tiếp xúc ngoài tại A, với \(R
Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) tiếp xúc ngoài tại A, với \(R > r\). Kẻ BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn với \(B \in \left( O \right),C \in \left( {O'} \right)\), tiếp tuyến chung trong tại A của hai đường tròn cắt BC tại \(M\).
a) Chứng minh bốn điểm O, B, M, A cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
c) Chứng minh rằng tam giác MEF đồng dạng với tam giác MO’O.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Chứng minh bốn điểm O, B, M, A cùng thuộc một đường tròn.
Gọi I là trung điểm của OM ta có:
\(\angle OBM = {90^0}\) (BM là tiếp tuyến với (O) tại B)
\( \Rightarrow \Delta OBM\) vuông tại B
\( \Rightarrow IO = IM = IB\left( 1 \right)\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền)
\(\angle OAM = {90^0}\) (AM là tiếp tuyến với (O) tại A)
\( \Rightarrow \Delta OAM\) vuông tại A
\( \Rightarrow IO = IM = IA\left( 2 \right)\)(trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền)
Từ (1) và (2) suy ra \(IO = IM = IB = IA\).
Vậy bốn điểm O, B, M, A cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính OM. (đpcm)
b) Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
Ta có: \(OA = OB = R\)
\(MA = MB\) (hai tiếp tuyến MA,MB cắt nhau tại \(M\))
\( \Rightarrow OM\) là đường trung trực của đoạn AB
\( \Rightarrow OM \bot AB \Rightarrow \angle MEA = {90^0}\)
Tương tự \(O'M \bot CA\) \( \Rightarrow \angle MFA = {90^0}\)
\(MA = MB \Rightarrow \Delta MAB\) cân tại M \( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {B_1}\) (1)
\(MC = MA\) \( \Rightarrow \Delta MCA\) cân tại M\( \Rightarrow \angle {A_2} = \angle {C_2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle {A_1} + \angle {A_2} = \angle {B_1} + \angle {C_2} \Rightarrow \angle BAC = \angle {B_1} + \angle {C_2}\)
Mà \(\angle BAC + \angle {B_1} + \angle {C_2} = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \angle BAC = \angle {B_1} + \angle {C_2} = {90^0}\)
Tứ giác AEMF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật (đpcm)
c) Chứng minh rằng tam giác MEF đồng dạng với tam giác MO’O.
Theo câu b, tứ giác AEMF là hình chữ nhật nên \(\angle {F_1} = \angle {A_1}\) (tính chất) (3)
Mà bốn điểm O, B, M, A cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính OM nên \(\angle {O_1} = \angle {A_1}\) (cùng chắn cung BM) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\angle {F_1} = \angle {O_1}\)
Xét \(\Delta MEF\) và \(\Delta MO'O\) có:
Góc M chung
\(\angle {F_1} = \angle {O_1}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta MEF\)~ \(\Delta MO'O\left( {g - g} \right)\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
