Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 718037:
Vận dụng

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \sqrt x  + \sqrt {2 - x}  + 2\sqrt {2x - {x^2}} \) trên đoạn [0; 2].

Đúng Sai
a)

Với \(x \in \left[ {0,2} \right]\) thì đặt \(t = \sqrt x  + \sqrt {2 - x} \), \(t \in \left[ {0,2} \right]\)
b)

Đặt \(t = \sqrt x  + \sqrt {2 - x} \) thì \(g\left( t \right) = {t^2} - t + 2\)
c)

\(m = \sqrt 2 \)
d) \({\log _a}2\sqrt 2  = \dfrac{3}{4}\) với \(a = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,2} \right]} f(x)\).

Đáp án đúng là: S; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:718037
Giải chi tiết

a – sai, b – sai, c – đúng, d - đúng

a) Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt x  + \sqrt {2 - x}  = h(x)\), ta có: \(h'(x) = \dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {2 - x} }}\).

Khi đó: \(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2\sqrt x }} = \dfrac{1}{{2\sqrt {2 - x} }} \Leftrightarrow \sqrt x  = \sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow x = 2 - x \Leftrightarrow x = 1 \in (0;2)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h(0) = \sqrt 2 }\\{h(1) = 2}\\{h(2) = \sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\min }\limits_{\left[ {0,2} \right]} h(x) = \sqrt 2 }\\{\mathop {\max }\limits_{\left[ {0,2} \right]} h(x) = 2}\end{array} \Rightarrow \sqrt 2  \le h(x) \le 2 \Rightarrow \sqrt 2  \le t \le 2} \right.} \right.\).

b) Suy ra: \({t^2} = x + 2\sqrt x \sqrt {2 - x}  + 2 - x \Leftrightarrow 2\sqrt {2x - {x^2}}  = {t^2} - 2\).

Hàm số đã cho trở thành: \(g(t) = {t^2} + t - 2\).

c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(g(t) = {t^2} + t - 2\) trên đoạn \([\sqrt 2 ;2]\).

Xét hàm số \(g(t) = {t^2} + t - 2\) xác định và liên tục trên với \([\sqrt 2 ;2]\).

Ta có: \({g^\prime }(t) = 2t + 1 > 0\) với \(\forall t \in (\sqrt 2 ;2)\)

Suy ra, hàm số \(g(t)\) đồng biến trên đoạn \([\sqrt 2 ;2]\).

Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\sqrt 2 ,2} \right]} g(t) = g\left( {\sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 \)

d) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\sqrt 2 ,2} \right]} g(t) = g(2) = 4 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,2} \right]} f(x) = 4 = a\).

\( \Rightarrow {\log _a}2\sqrt 2  = {\log _4}2\sqrt 2  = \dfrac{3}{4}\)

Đáp án cần chọn là: S; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn