Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \sqrt x + \sqrt {2 - x} + 2\sqrt {2x - {x^2}} \) trên đoạn [0; 2].
| Đúng | Sai | |
|---|---|---|
| 1) a) Với \(x \in \left[ {0,2} \right]\) thì đặt \(t = \sqrt x + \sqrt {2 - x} \), \(t \in \left[ {0,2} \right]\) |
||
| 2) b) Đặt \(t = \sqrt x + \sqrt {2 - x} \) thì \(g\left( t \right) = {t^2} - t + 2\) |
||
| 3) c) \(m = \sqrt 2 \) |
||
| 4) d) \({\log _a}2\sqrt 2 = \dfrac{3}{4}\) |
Đáp án đúng là: 1S, 2S, 3Đ, 4Đ
a – sai, b – sai, c – đúng, d - đúng
a) Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt x + \sqrt {2 - x} = h(x)\), ta có: \(h'(x) = \dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {2 - x} }}\).
Khi đó: \(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2\sqrt x }} = \dfrac{1}{{2\sqrt {2 - x} }} \Leftrightarrow \sqrt x = \sqrt {2 - x} \Leftrightarrow x = 2 - x \Leftrightarrow x = 1 \in (0;2)\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h(0) = \sqrt 2 }\\{h(1) = 2}\\{h(2) = \sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\min }\limits_{\left[ {0,2} \right]} h(x) = \sqrt 2 }\\{\mathop {\max }\limits_{\left[ {0,2} \right]} h(x) = 2}\end{array} \Rightarrow \sqrt 2 \le h(x) \le 2 \Rightarrow \sqrt 2 \le t \le 2} \right.} \right.\).
b) Suy ra: \({t^2} = x + 2\sqrt x \sqrt {2 - x} + 2 - x \Leftrightarrow 2\sqrt {2x - {x^2}} = {t^2} - 2\).
Hàm số đã cho trở thành: \(g(t) = {t^2} + t - 2\).
c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(g(t) = {t^2} + t - 2\) trên đoạn \([\sqrt 2 ;2]\).
Xét hàm số \(g(t) = {t^2} + t - 2\) xác định và liên tục trên với \([\sqrt 2 ;2]\).
Ta có: \({g^\prime }(t) = 2t + 1 > 0\) với \(\forall t \in (\sqrt 2 ;2)\)
Suy ra, hàm số \(g(t)\) đồng biến trên đoạn \([\sqrt 2 ;2]\).
Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\sqrt 2 ,2} \right]} g(t) = g\left( {\sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 \)
d) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\sqrt 2 ,2} \right]} g(t) = g(2) = 4 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,2} \right]} f(x) = 4 = a\).
\( \Rightarrow {\log _a}2\sqrt 2 = {\log _4}2\sqrt 2 = \dfrac{3}{4}\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
