Cho biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}}\) với \({x^2} + {y^2} \ne 0\). Giá trị

Câu hỏi số 718038:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}}\) với \({x^2} + {y^2} \ne 0\). Giá trị nhỏ nhất của P bằng?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:718038

Giải chi tiết

Nếu \(y = 0\) thì \(P = 1\) (1)

Nếu \(y \ne 0\) thì \(P = \dfrac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + \left( {\dfrac{x}{y}} \right) + 1}}{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} - \left( {\dfrac{x}{y}} \right) + 1}}\)

Đặt \(t = \dfrac{x}{y}\), khi đó: \(P = f(t) = \dfrac{{{t^2} + t + 1}}{{{t^2} - t + 1}};{f^\prime }(t) = \dfrac{{ - 2{t^2} + 2}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow - 2{t^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(P = f(t) \ge \dfrac{1}{3}\)

Từ \((1)\) và \((2) \Rightarrow P = f(t) \ge \dfrac{1}{3} \Rightarrow \min P = \dfrac{1}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.