Cho các số sau: Chọn các số thích hợp ở trên vào chỗ trống dưới đâyCho hai số thực x, y

Câu hỏi số 718039:

Vận dụng

Cho các số sau:

Chọn các số thích hợp ở trên vào chỗ trống dưới đây

Cho hai số thực x, y thỏa mãn \(x \ge 0;y \ge 0\) và \(x + y = 1\). Khi đó

a) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{x}{{y + 1}} + \dfrac{y}{{x + 1}}\) là ………….

b) \(P = \dfrac{x}{{y + 1}} + \dfrac{y}{{x + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng ……….. khi x bằng ………….

Xem lời giải

Câu hỏi:718039

Giải chi tiết

Ta có: \(P = \dfrac{x}{{y + 1}} + \dfrac{y}{{x + 1}} = \dfrac{{x(x + 1) + y(y + 1)}}{{(x + 1)(y + 1)}} = \dfrac{{{{(x + y)}^2} - 2xy + 1}}{{xy + x + y + 1}} = \dfrac{{2 - 2xy}}{{2 + xy}}\) (vì \(x + y = 1)\)

Đặt \(t = xy\). Hàm số đã cho trở thành \(g(t) = \dfrac{{2 - 2t}}{{2 + t}}\).

Vì\({\rm{ }}x \ge 0;y \ge 0 \Rightarrow t \ge 0.{\rm{ }}\)

Mặt khác, vì \(1 = x + y \ge 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{4} \Rightarrow t \le \dfrac{1}{4}\).

Khi đó, bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(g(t) = \dfrac{{2 - 2t}}{{2 + t}}\) trên \(\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]\).

Xét hàm số \(g(t) = \dfrac{{2 - 2t}}{{2 + t}}\) xác định và liên tục trên \(\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]\).

Ta có: \(g(t) = \dfrac{{ - 6}}{{{{(2 + t)}^2}}} < 0\) với \(\forall t \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)\)

\( \Rightarrow \) hàm số \(g(t)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]\).

Do đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\min }_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]}}g(t) = g\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{2}{3}}\\{{{\max }_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]}}g(t) = g(0) = 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\min P = \dfrac{2}{3}}\\{\max P = 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.