Cho các số sau: Chọn các số thích hợp ở trên vào chỗ trống dưới đâyCho hai số thực x, y

Câu hỏi số 718039:

Vận dụng

Cho các số sau:

Chọn các số thích hợp ở trên vào chỗ trống dưới đây

Cho hai số thực x, y thỏa mãn $x \ge 0;y \ge 0$ và $x + y = 1$ . Khi đó

a) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{x}{{y + 1}} + \dfrac{y}{{x + 1}}$ là ………….

b) $P = \dfrac{x}{{y + 1}} + \dfrac{y}{{x + 1}}$ đạt giá trị lớn nhất bằng ……….. khi x bằng ………….

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:718039

Giải chi tiết

Ta có: $P = \dfrac{x}{{y + 1}} + \dfrac{y}{{x + 1}} = \dfrac{{x(x + 1) + y(y + 1)}}{{(x + 1)(y + 1)}} = \dfrac{{{{(x + y)}^2} - 2xy + 1}}{{xy + x + y + 1}} = \dfrac{{2 - 2xy}}{{2 + xy}}$ (vì $x + y = 1)$

Đặt $t = xy$ . Hàm số đã cho trở thành $g(t) = \dfrac{{2 - 2t}}{{2 + t}}$ .

Vì ${\rm{ }}x \ge 0;y \ge 0 \Rightarrow t \ge 0.{\rm{ }}$

Mặt khác, vì $1 = x + y \ge 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{4} \Rightarrow t \le \dfrac{1}{4}$ .

Khi đó, bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(t) = \dfrac{{2 - 2t}}{{2 + t}}$ trên $\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]$ .

Xét hàm số $g(t) = \dfrac{{2 - 2t}}{{2 + t}}$ xác định và liên tục trên $\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]$ .

Ta có: $g(t) = \dfrac{{ - 6}}{{{{(2 + t)}^2}}} < 0$ với $\forall t \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)$

$\Rightarrow$ hàm số $g(t)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]$ .

Do đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\min }_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]}}g(t) = g\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{2}{3}}\\{{{\max }_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]}}g(t) = g(0) = 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\min P = \dfrac{2}{3}}\\{\max P = 1}\end{array}} \right.} \right.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.