Từ điểm \(P\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ hai tiếp tuyến \(PA,PB\) với \(A\)

Câu hỏi số 718056:

Vận dụng

Từ điểm \(P\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ hai tiếp tuyến \(PA,PB\) với \(A\) và \(B\) là các tiếp điểm. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc vẽ từ \(A\) đến đường kính \(BC\). Chứng minh rằng \(PC\) cắt \(AH\) tại trung điểm \(I\) của \(AH\).

Xem lời giải

Câu hỏi:718056

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ quả của thales.

Giải chi tiết

\(CA\) cắt \(BP\) tại \(D\); \(\angle {BAC} = {90^0}\) (\(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\))

Vì \(PA = PB\) (tính chất tiếp tuyến) nên tam giác ABP cân tại P \( \Rightarrow \angle {PBA} = \angle {PAB}\)

\(\Delta ABD\) có \(\angle {ABD} + \angle {ADB} = {90^0};\angle {BAP} + \angle {PAD} = \angle {BAD} = {90^0}\), do đó \(\angle {PDA} = \angle {PAD}\)

\( \Rightarrow \Delta ADP\) cân tại P\( \Rightarrow PA = PD\)\( \Rightarrow PB = PD\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có \(DB \bot BC,AH \bot BC \Rightarrow DB//AH\)

\(\Delta PBC\) có \(IH//PB \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{PB}} = \dfrac{{IC}}{{PC}}\,\,\left( 2 \right);\,\,\Delta PDC\) có \(AI//PD \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{PD}} = \dfrac{{IC}}{{PC}}\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Rightarrow IH = IA \Rightarrow \) đpcm.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.