Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính AB. Gọi \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\) lần lượt

Câu hỏi số 718059:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính AB. Gọi \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\) lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B.\) Một điểm \(M\) thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) với \(M\) không trùng \(A\) và \(M\) không trùng B. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\) cắt \(a\) và \(b\) lần lượt tại \(C\) và D.

1) Chứng minh \(AC + BD = CD\)

2) Chứng minh tam giác OCD là tam giác vuông.

3) Chứng minh AC.BD có giá trị không đổi khi \(M\) thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Xem lời giải

Câu hỏi:718059

Phương pháp giải

1) Chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra các cạnh bằng nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh

2) Dựa vào tam giác bằng nhau suy ra các góc bằng nhau, từ đó chứng minh được \(\angle COD = {90^0}\)

3) Từ kết luận của ý 2, sử dụng tam giác đồng dạng chứng minh.

Giải chi tiết

1) Chứng minh \(AC + BD = CD\)

Ta có: \(CA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CD\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M\) cắt nhau tại \(C\)

\( \Rightarrow CA = CM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có: \(BD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CD\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M\) cắt nhau tại \(D\)

\( \Rightarrow BD = DM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Mà \(CD = CM + MD \Rightarrow CD = CA + BD{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {dpcm} \right).\)

2) Chứng minh tam giác OCD là tam giác vuông.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

CO là phân giác của \(\angle AOM\) và OD là phân giác của \(\angle BOM\)

Mà \(\angle AOM\) và \(\angle BOM\) là hai góc kề bù

\( \Rightarrow OC \bot OD\) hay \(\angle COD = {90^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc kề bù)

\( \Rightarrow \Delta COD\) vuông tại O. (đpcm)

3) Chứng minh AC.BD có giá trị không đổi khi \(M\) thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Xét \(\Delta OMC\) và \(\Delta DMO\) có:

\(\angle {COM} = \angle {ODM}\) (cùng phụ \(\angle {MOD}\))

\(\angle {OMC} = \angle {DMO} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta OMC\)~\(\Delta DMO\) (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{OM}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{OM}}\) hay \(O{M^2} = MC.MD.\)

Mà: \(AC = CM;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} MD = BD{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow AC.BD = {R^2}.\)

Vậy AC.BD có giá trị không đổi khi \(M\) thay đổi trên đường tròn.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.