Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) đường kính \(AB\). Vẽ dây \(AC\) sao cho \(\angle {CAB} = 30^\circ

Câu hỏi số 718232:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) đường kính \(AB\). Vẽ dây \(AC\) sao cho \(\angle {CAB} = 30^\circ \). Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(BM = R\). Chứng minh rằng

1) \(MC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

2) \(M{C^2} = 3{R^2}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:718232

Phương pháp giải

1) Chứng minh \(MC \bot OC\)

2) Chứng minh tam giác đồng dạng.

Giải chi tiết

1) Xét tam giác \(ABC\) có \(OC = OA = OB = R\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\).

\( \Rightarrow \angle {CBA} = 90^\circ - \angle {CAB} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ {\rm{.\;}}\)

Tam giác \(OCB\) có \(OB = OC = R\) và \(\angle {CBO} = 60^\circ \) nên tam giác \(OCB\) đều.

Suy ra \(CB = \) \(OB = R\).
Xét tam giác \(OCM\) có \(CB = OB = BM = R\) nên tam giác \(OCM\) vuông tại \(C\).

Suy ra \(MC \bot OC\), do đó \(MC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).
2) Ta có \(\angle {BCM} = 90^\circ - \angle {BCO} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Xét \(\Delta BCM\) và \(\Delta CAM\) có:

\(\angle {BCM} = \angle {CAM} = 30^\circ \)

\(\angle {CMB}\) chung
Suy ra \(\Delta BCM\)~ \(\Delta CAM\) (g.g).
\( \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MA}} = \dfrac{{MB}}{{MC}} \Rightarrow M{C^2} = MA . MB = 3R.R = 3{R^2}\) (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.