Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) với \(R = 12{\rm{\;cm}},r =

Câu hỏi số 718234:

Vận dụng

Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) với \(R = 12{\rm{\;cm}},r = 5{\rm{\;cm}},OO' = 13{\rm{\;cm}}\).

1) Chứng minh hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A,B\) và \(OO'\) là đường trung trực của \(AB\).

2) Chứng minh \(AO\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O';r} \right)\).

3) Tính độ dài \(AB\).

Xem lời giải

Câu hỏi:718234

Phương pháp giải

1) So sánh tổng, hiệu của hai bán kính và đường nối tâm.

2) Sử dụng định lí Pythagore đảo để chứng minh tam giác vuông.

3) Chứng minh tam giác đồng dạng để tính toán dựa vào tỉ lệ.

Giải chi tiết

1) Vì \(12 - 5 < 13 < 12 + 5\) nên \(R - r < d < R + r\).

Vậy hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A,B\).
Mặt khác ta có \(OA = OB = R\) và \(OA' = OB' = r\) nên \(OO'\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

2) Ta có \(O{O'^2} = O{A^2} + O'{A^2}\) nên tam giác \(AOO'\) vuông tại \(A\).

Từ đó suy ra \(AO\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O';r} \right)\).

3) Gọi \(I\) là giao điểm của \(OO'\) và \(AB\).

Vì \(OO'\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) nên \(OO'\) vuông góc với AB tại I.

Xét \(\Delta AOO'\) và \(\Delta IAO'\) có:

\(\angle {AO'I}\) chung

\(\angle {AOO'} = \angle {IAO'}\) (cùng phụ \(\angle {OAI}\))

Suy ra \(\Delta AOO'\)~\(\Delta IAO'\) (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{AO}}{{AI}} = \dfrac{{OO'}}{{AO'}}\)\( \Rightarrow AI = \dfrac{{AO . AO'}}{{OO'}} = \dfrac{{60}}{{13}}\,\,(cm)\)

Do đó \(AB = 2AI = \dfrac{{120}}{3}\,\,(cm)\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.