Có bao nhiêu cấp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số

Câu hỏi số 718504:

Thông hiểu

Có bao nhiêu cấp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số hạng đầu là số chẵn, tổng các số hạng có giá trị lẻ bằng $33$ và tổng các số hạng có giá trị chẵn bằng $44$ (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:718504

Giải chi tiết

Vì ${u_1}$ chẵn và trong dãy có số hạng lẻ nên $d$ lẻ.

TH1: Nếu dãy số có chẵn số hạng tức là có dạng: ${u_1};{u_2};...;{u_{2n-1}};{u_{2n}}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_3} + ... + {u_{2n - 1}} = 44}\\{{u_2} + {u_4} + ... + {u_{2n}} = 33}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{\left( {{u_1} + {u_{2n - 1}}} \right).n}}{2} = 44}\\{\dfrac{{\left( {{u_2} + {u_{2n}}} \right).n}}{2} = 33}\end{array}} \right..$

Mà ${u_2} + {u_{2n}} = {u_1} + {u_{2n - 1}} + 2d \Rightarrow \dfrac{{33}}{n} = \dfrac{{44}}{n} + d \Rightarrow nd = - 11$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 1,d = - 11\\n = 11,d = - 1\end{array} \right.$

Với $n = 1,d = - 11 \Rightarrow {u_1} = 44,{u_2} = 33 \Rightarrow$ thỏa mãn

Với $n = 11,d = - 1$ $\Rightarrow {u_1} = 14$ mà có 22 số hạng nên tồn tại số hạng âm nên không thỏa mãn.

TH2: Nếu dãy số có lẻ số hạng tức là dãy số tổng quát là: ${u_1};{u_2};...;{u_{2n}};{u_{2n + 1}}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_3} + ... + {u_{2n + 1}} = 44}\\{{u_2} + {u_4} + ... + {u_{2n}} = 33}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{\left( {{u_1} + {u_{2n + 1}}} \right).\left( {n + 1} \right)}}{2} = 44}\\{\dfrac{{\left( {{u_2} + {u_{2n}}} \right).n}}{2} = 33}\end{array}} \right..$

Mà ${u_1} + {u_{2n + 1}} = {u_1} + {u_{2n}} + d = {u_2} + {u_{2n}}$ nên $\dfrac{{n + 1}}{n} = \dfrac{{44}}{3} \Rightarrow n = 3.$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} + {u_7} = 77}\\{ \Leftrightarrow 7{u_4} = 77 \Leftrightarrow {u_4} = 11.}\end{array}$

KN1: $d > 0$ .

Ta có: ${u_4} = {u_1} + 3d = 11 \Leftrightarrow 3d = 11 - {u_1}.$

Do ${u_1} \ge 2 \Rightarrow 3d \le 11 - 2 \Leftrightarrow 3d \le 9 \Leftrightarrow d \le 3.$

Mà $d$ lẻ nên $d = \left\{ {1;3} \right\}.$

KN2: $d < 0$ .

Ta có: ${u_4} = {u_7} - 3d = 11 \Leftrightarrow {u_7} = 3d + 11.$

Do ${u_7} > 0 \Rightarrow 3d + 11 > 0 \Leftrightarrow d > {\rm{ \;}} - \dfrac{{11}}{3}$ .

$\Rightarrow {\rm{ \;}} - \dfrac{{11}}{3} < d < 0$ . Mà $d$ lẻ nên $d = \left\{ { - 3; - 1} \right\}.$

Vậy có 5 cấp số cộng thoả mãn yêu cầu bài toán.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.