Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} +

Câu hỏi số 718509:

Vận dụng

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 6x + 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(1\) và cắt hai trục tọa độ tại A, B. Tính diện tích tam giác \(OAB\) (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 8/3

Xem lời giải

Câu hỏi:718509

Phương pháp giải

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng \(1\).

Xác định tọa độ điểm \(A,B\), độ dài \(OA,OB\).

Tính diện tích tam giác vuông \(OAB\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x - 6\)

\(y\left( 1 \right) = {1^3} + {3.1^2} - 6.1 + 1 = - 1\)

\(y'\left( 1 \right) = {3.1^2} + 6.1 - 6 = 3\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng \(1\) là:

\(\begin{array}{l}y - \left( { - 1} \right) = 3\left( {x - 1} \right)\\y = 3x - 4\end{array}\)

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 3x - 4\) với hai trục tọa độ là:

Với \(x = 0\) thì \(y = - 4\) nên \(A\left( {0; - 4} \right)\).

Với \(y = 0\) thì \(3x - 4 = 0\) suy ra \(x = \dfrac{4}{3}\) nên \(B\left( {\dfrac{4}{3};0} \right)\).

Tam giác \(OAB\) là tam giác vuông tại \(O\) có \(OA = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4;OB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)}^2} + {0^2}} = \dfrac{4}{3}\).

Vậy diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}.4.\dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.