Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:{\rm{

Câu hỏi số 718534:

Thông hiểu

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:{\rm{ }}\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{2};{\rm{ }}{d_2}:{\rm{ }}\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{1}\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\), vuông góc với \({d_1}\) và cắt \({d_2}\). Biết \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {a;b; - 1} \right)\). Tổng \({a^3} + {b^3}\) bằng:

A. -8

B. -7

C. 7

D. 8

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:718534

Phương pháp giải

Đưa về tính tích phân thể tích

Giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1,1,2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3,2,1} \right)\) lần lượt là VTCP của \({d_1},{d_2}\)

Do \(\Delta \bot {d_1} \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \Leftrightarrow a + b - 2 = 0\) (1)

\(\Delta \) qua \(A\left( {1;2;3} \right)\), có một vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {a;b; - 1} \right)\) nên có phương trình \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = 2 + bt\\z = 3 - t\end{array} \right.\)

Gọi \(M = \Delta \cap {d_2} \Rightarrow M\left( {1 + at,2 + bt,3 - t} \right) \in {d_2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{1 + at - 2}}{3} = \dfrac{{2 + bt}}{2} = \dfrac{{3 - t}}{1}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + bt = 6 - 2t\\1 + at - 2 = 9 - 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{4}{{b + 2}} = \dfrac{{10}}{{a + 3}} = t \Leftrightarrow 4a - 10b = 8 & \left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^3} + {b^3} = 8\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.