Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Xét phương trình \(\log \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \dfrac{3}{a} \cdot {\left(
Xét phương trình \(\log \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \dfrac{3}{a} \cdot {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^b}\) trên khoảng \(( - 2;2)\), với \(a\) và \(b\) là hai số nguyên dương đều bé hơn 20. Những phương án nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: A, D
Các lựa chọn đúng là 1,4.
\(\log \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \frac{3}{a} \cdot {\left( {\frac{x}{2}} \right)^b}\)
Xét hàm \(f\left( x \right) = \log \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\ln 10}}.\left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) = \dfrac{1}{{\ln 10\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0\)
\( \Rightarrow f\left( x \right)\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Xét hàm \(g\left( x \right) = \frac{3}{a} \cdot {\left( {\frac{x}{2}} \right)^b}\) với a, b nguyên dương và nhỏ hơn 20
\(g'\left( x \right) = \frac{{3b}}{a}.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{b - 1}}\)
TH1: Nếu \(b = 1 \Rightarrow g\left( x \right) = \frac{3}{{2a}}.x\) có đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O
\( \Rightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có ít nhất 1 nghiệm \(x = 0\)
Kiểm tra với a = 1,2,3 thì có nghiệm duy nhất \(x = 0\)
Với a = 4 thì có 3 nghiệm
Với \(a \ge 5\) thì có nghiệm duy nhất \(x = 0\)
Vậy \(\left( {a,b} \right) = \left( {4,1} \right)\) thì có 3 nghiệm phân biệt
Chú ý: Nhận xét thấy tiếp tuyến của f(x) tại 0 bằng 1 nên để có 3 giao điểm thì tiếp tuyến của hàm g(x) thuộc đoạn từ [0,62;1] từ đó suy ra a = 4.
TH2: Nếu b chẵn thì bảng biến thiên của g(x) có dạng
\( \Rightarrow \) Khi b chẵn thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có nhiều nhất 2 nghiệm trong đó 1 nghiệm \(x = 0\) và 1 nghiệm \(x = m > 0\)
TH3: Nếu b lẻ thì \(g'\left( x \right) = \frac{{3b}}{a}.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{b - 1}} \ge 0\) nên bảng biến thiên của g(x) có dạng
\( \Rightarrow b\) lẻ thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có ít nhất 1 nghiệm và nhiều nhất 3 nghiệm
Để \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có 3 nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{a} > 0,62\\ - \frac{3}{a} < - 0,62\end{array} \right. \Leftrightarrow a < 4,8\) \( \Rightarrow a \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}\)
\( \Rightarrow 1\) đúng, 2 sai.
3) Để \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có 3 nghiệm phân biệt thì \(a \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}\) và \(b \in \left\{ {3,5,...,19} \right\} \Rightarrow \) có 36 cặp (a,b) thỏa mãn.
Kết hợp với cặp \(\left( {a,b} \right) = \left( {4,1} \right)\) nên có tổng cộng là 37 cặp.
\( \Rightarrow 3\) sai.
4) Nếu \(a = 1\) thì có 9.1 = 9 giá trị b để \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có 3 nghiệm phân biệt trên [-2,2] \( \Rightarrow 4\) đúng.
5) Nếu \(a = 3\) thì có 9.1 = 9 giá trị b để \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có 3 nghiệm phân biệt trên [-2,2] \( \Rightarrow 5\) sai.
Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
