Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ \(EF \bot BC.\) Nối AF và BE.a)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ \(EF \bot BC.\) Nối AF và BE.
a) Chứng minh rằng \(AF = BE.\cos C\)
b) Biết BC = 10cm, \(\sin \angle {ACB} = 0,6.\) Tính diện tích tứ giác ABFE.
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính \(\sin \angle {AOB}\)
Quảng cáo
a) Chứng minh tam giác đồng dạng để suy ra tỉ lệ.
b) Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và định lí Pythagore.
c) Kẻ \(AH \bot BE;FK \bot BE\left( {H,K \in BE} \right)\).
a) Xét \(\Delta FEC\) và \(\Delta ABC\) vuông tại F và A có \(\angle C\) chung \( \Rightarrow \Delta FEC\)~ \(\Delta ABC \Rightarrow \dfrac{{FC}}{{EC}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}\)
Xét \(\Delta CFA\) và \(\Delta CEB\) có:
\(\angle C\) chung
\(\dfrac{{FC}}{{EC}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta CFA\)~\(\Delta CEB\,\,(c.g.c) \Rightarrow \dfrac{{FA}}{{BE}} = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{FA}}{{BE}} = \cos C \Rightarrow FA = BE.\cos C\)
b) Xét tam giác ABC vuông tại A có: \(AB = BC.\sin C = 0,6 . 10 = 6\,\,(cm)\)
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC vuông tại A có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) hay \({6^2} + A{C^2} = {10^2} \Rightarrow AC = 8\,\,(cm)\)
\( \Rightarrow AE = EC = 4\,\,(cm)\)
Mặt khác \(FE = EC.\sin C = 0,6.4 = 2,4\,\,(cm)\)
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác FEC vuông tại F có:
\(E{C^2} = F{E^2} + F{C^2}\) hay \({4^2} = 2,{4^2} + F{C^2} \Rightarrow FC = 3,2\,\,(cm)\)
\({S_{ABFE}} = {S_{ABC}} - {S_{CFE}} = \dfrac{1}{2}(AB.AC - FE.FC) = 20,16\,\,(c{m^2})\)
c) Hạ \(AH \bot BE;FK \bot BE\left( {H,K \in BE} \right)\)
Ta có: \({S_{ABFE}} = {S_{ABE}} + {S_{BFE}} = \dfrac{1}{2}\left( {AH . BE + FK . BE} \right) = \dfrac{1}{2}BE\left( {AO . {\rm{sin}}\angle {AOB} + FO . {\rm{sin}}\angle {FOE}} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}BE . {\rm{sin}}\angle {AOB}\left( {AO + FO} \right) = \dfrac{1}{2}BE . FA . {\rm{sin}}\angle {AOB}\) (1)
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABE vuông tại A, ta có:
\(A{B^2} + A{E^2} = B{E^2}\) hay \({6^2} + {4^2} = B{E^2} \Rightarrow BE = 2\sqrt {13} \,\,(cm)\) (2)
Theo câu a) có: \(FA = BE . \cos C = BE.\dfrac{{AC}}{{BC}} = 2\sqrt {13} .\dfrac{8}{{10}} = \dfrac{{8\sqrt {13} }}{5}\,\,(cm)\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có \({\rm{sin}}\angle {AOB} = \dfrac{{2{S_{ABFE}}}}{{BE . FA}} = \dfrac{{2 . 20,16}}{{2\sqrt {13} . \dfrac{{8\sqrt {13} }}{5}}} = \dfrac{{63}}{{65}}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
