5.1. Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A;BC = 12\;{\rm{cm}}\); \(\angle B = 30^\circ \) (hình vẽ bên). Tính cạnh

Câu hỏi số 720167:

Vận dụng

5.1. Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A;BC = 12\;{\rm{cm}}\); \(\angle B = 30^\circ \) (hình vẽ bên). Tính cạnh AB? (Biết \(\cos 30^\circ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)).

5.2. Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn và đường cao \({\rm{BE}}\). Gọi \({\rm{H}}\) và \({\rm{K}}\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm \({\rm{E}}\) đến \({\rm{AB}},{\rm{BC}}\).

a) Chứng minh tứ giác \({\rm{BHEK}}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(BH.BA = BK.BC\)

c) Gọi \({\rm{F}}\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \({\rm{C}}\) đến đường thẳng \({\rm{AB}}\) và \({\rm{I}}\) là trung điểm của đoạn thẳng \({\rm{EF}}\). Chứng minh ba điểm \({\rm{H}},{\rm{I}},{\rm{K}}\) là ba điểm thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi:720167

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Do \(EH \bot AB,EK \bot BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle EHB = \angle EKB = {90^0}\)

Xét tứ giác \({\rm{BHEK}}\) có \(\angle EHB + \angle EKB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác \({\rm{BHEK}}\) nội tiếp.

b) Xét tam giác ABE vuông tại E, đường cao EH có \(B{E^2} = BH.BA\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét tam giác BEC vuông tại E, đường cao EK có \(B{E^2} = BK.BC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow BH.BA = BK.BC\) (đpcm)

c) Gọi M là giao điểm của HI và FC.

Do \(\left\{ \begin{array}{l}CF \bot AB\left( {gt} \right)\\EH \bot AB\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HE\parallel CF \Rightarrow \angle FMH = \angle MHE\) (so le trong)

Mà \(\Delta HFE\) vuông tại H, trung tuyến HI \( \Rightarrow IH = IF = IE\) (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền)

\( \Rightarrow \Delta IHE\) cân tại I

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle IHE = \angle HEF\\ \Rightarrow \angle HEF = \angle FMH\end{array}\)

Mà 2 góc này kề nhau, cùng nhìn HF nên H,E,M,F cùng thuộc 1 đường tròn

\( \Rightarrow \angle EHF + \angle EMF = {180^0} \Rightarrow \angle EMF = {90^0} \Rightarrow EM \bot FC\)

\( \Rightarrow \angle EMC = \angle EKC = {90^0}\)

Mà 2 góc này kề nhau, cùng nhìn EC nên E,M,K,C cùng thuộc 1 đường tròn.

\( \Rightarrow \angle ECK + \angle EMK = {180^0}\) (1)

Từ b, \(BH.BA = BK.BC \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{BK}}{{BA}}\)

Lại có \(\angle BAC\) chung nên \(\Delta BHK\)~\(\Delta BCA\left( {g.g} \right) \Rightarrow \angle BCA = \angle BHK\)

Mà \(\angle BHK = \angle HME\) (so le trong)

\( \Rightarrow \angle HME = \angle ACB\)

Thay vào (1) ta được \(\angle EMH + \angle EMK = {180^0} \Rightarrow K,M,H\) thẳng hàng

Mà H, I, M thẳng hàng nên H, I, K thẳng hàng.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.