Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn (A, B là hai
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn (A, B là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của PO và AB.
a) Chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp.
b) Chứng minh \(P{A^2} = PH.PO\).
c) Điểm N trên cung lớn AB của đường tròn (O) sao cho tam giác NAB nhọn và \(NA > NB\). Đường thẳng PN cắt (O) tại điểm M khác N. Chứng minh \(\angle OMN = \angle OHN\)
d) Đường thẳng qua N song song với PO cắt đường thẳng AO tại K. Gọi I là trung điểm của M N. Chứng minh đường thẳng KI vuông góc với đường thẳng AM.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do PA, PB là tiếp tuyến nên \(\angle OAP = \angle OBP = {90^0}\)
Xét tứ giác OAPB có \(\angle OAP + \angle OBP = {90^0} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OAPB nội tiếp (dhnb)
b) Ta có \(PA = PB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OA = OB = R\)
\( \Rightarrow PO\) là trung trực của AB
\( \Rightarrow PO \bot AB\) tại H là trung điểm của AB
\( \Rightarrow \Delta POA\) vuông tại A, đường cao AH có \(P{A^2} = PH.PO\) (hệ thức lượng)
c) Xét \(\Delta PBM\) và \(\Delta PNB\) có \(\angle BPM\) chung và \(\angle PBM = \angle PNB = \dfrac{1}{2}sd\,cungBM\)
\( \Rightarrow \Delta PBM\)~ \(\Delta PNB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{PN}} = \dfrac{{PM}}{{PB}} \Rightarrow P{B^2} = PM.PN = P{A^2}\)
Mà \(P{A^2} = PH.PO\) nên \(PM.PN = PH.PO \Rightarrow \dfrac{{PM}}{{PO}} = \dfrac{{PH}}{{PN}}\)
Kết hợp \(\angle OPN\) chung \( \Rightarrow \Delta PMH\)~ \(\Delta PON\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle PMH = \angle PON\)
\( \Rightarrow H,M,N,O\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle OMN = \angle OHN\) (cùng chắn cung ON)
d) Kẻ đường kính AE của (O)
Do I là trung điểm của MN nên \(OI \bot MN\) (quan hệ đường kính dây cung)
\( \Rightarrow \angle OIP + \angle OAP = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow O,I,P,A\) cùng thuộc đường tròn
\( \Rightarrow \angle IPO = \angle IAO\) (cùng chắn cung IO)
Mà \(\angle IPO = \angle INK\) (so le trong \(OP\parallel NK\))
\( \Rightarrow \angle IAO = \angle INK \Rightarrow IKNA\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle NIK = \angle NAK\) (cùng chắn NK)
Mà \(\angle NAK = \angle NME\) (cùng chắn NE)
\( \Rightarrow \angle NIK = \angle NME \Rightarrow IK\parallel ME\) (hai góc đồng vị bằng nhau)
Mà \(ME \bot AM\) (do AE là đường kính)
\( \Rightarrow NK \bot AM(dpcm)\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
