Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn (A, B là hai

Câu hỏi số 720264:

Vận dụng cao

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn (A, B là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của PO và AB.

a) Chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp.

b) Chứng minh $P{A^2} = PH.PO$ .

c) Điểm N trên cung lớn AB của đường tròn (O) sao cho tam giác NAB nhọn và $NA > NB$ . Đường thẳng PN cắt (O) tại điểm M khác N. Chứng minh $\angle OMN = \angle OHN$

d) Đường thẳng qua N song song với PO cắt đường thẳng AO tại K. Gọi I là trung điểm của M N. Chứng minh đường thẳng KI vuông góc với đường thẳng AM.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720264

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Do PA, PB là tiếp tuyến nên $\angle OAP = \angle OBP = {90^0}$

Xét tứ giác OAPB có $\angle OAP + \angle OBP = {90^0} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OAPB nội tiếp (dhnb)

b) Ta có $PA = PB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), $OA = OB = R$

$\Rightarrow PO$ là trung trực của AB

$\Rightarrow PO \bot AB$ tại H là trung điểm của AB

$\Rightarrow \Delta POA$ vuông tại A, đường cao AH có $P{A^2} = PH.PO$ (hệ thức lượng)

c) Xét $\Delta PBM$ và $\Delta PNB$ có $\angle BPM$ chung và $\angle PBM = \angle PNB = \dfrac{1}{2}sd\,cungBM$

$\Rightarrow \Delta PBM$ ~ $\Delta PNB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{PN}} = \dfrac{{PM}}{{PB}} \Rightarrow P{B^2} = PM.PN = P{A^2}$

Mà $P{A^2} = PH.PO$ nên $PM.PN = PH.PO \Rightarrow \dfrac{{PM}}{{PO}} = \dfrac{{PH}}{{PN}}$

Kết hợp $\angle OPN$ chung $\Rightarrow \Delta PMH$ ~ $\Delta PON\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle PMH = \angle PON$

$\Rightarrow H,M,N,O$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle OMN = \angle OHN$ (cùng chắn cung ON)

d) Kẻ đường kính AE của (O)

Do I là trung điểm của MN nên $OI \bot MN$ (quan hệ đường kính dây cung)

$\Rightarrow \angle OIP + \angle OAP = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$\Rightarrow O,I,P,A$ cùng thuộc đường tròn

$\Rightarrow \angle IPO = \angle IAO$ (cùng chắn cung IO)

Mà $\angle IPO = \angle INK$ (so le trong $OP\parallel NK$ )

$\Rightarrow \angle IAO = \angle INK \Rightarrow IKNA$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle NIK = \angle NAK$ (cùng chắn NK)

Mà $\angle NAK = \angle NME$ (cùng chắn NE)

$\Rightarrow \angle NIK = \angle NME \Rightarrow IK\parallel ME$ (hai góc đồng vị bằng nhau)

Mà $ME \bot AM$ (do AE là đường kính)

$\Rightarrow NK \bot AM(dpcm)$

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.