Cho hàm số $f\left( x \right) = m{x^2} + 2mx - 3$ . Ghép cột A với cột B cho ở bảng dưới

Câu hỏi số 720266:

Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x \right) = m{x^2} + 2mx - 3$ . Ghép cột A với cột B cho ở bảng dưới đây.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720266

Giải chi tiết

Đáp số: 1 – b, 2 – a, 3 – c.

a) Tìm $m$ để phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm $x \in \left[ {1;2} \right]$

Biến đổi phương trình $f\left( x \right) = 0$ ta có: $f\left( x \right) = m{x^2} + 2mx - 3 = 0 \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 2x} \right) = 3$

$\Leftrightarrow g\left( x \right) = \dfrac{3}{{{x^2} + 2x}} = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}} = m$ .

Ta có $g'\left( x \right) = - \dfrac{{3\left( {2x + 2} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]$ nên $g\left( x \right)$ giảm trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$ .

$f\left( x \right) = 0$ có nghiệm $x \in \left[ {1;2} \right]$ thì $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} g\left( x \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} g\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{3}{8} \le m \le 1$ .

b) Tìm $m$ để bất phương trình $f\left( x \right) \le 0$ nghiệm đúng $\forall x \in \left[ {1;4} \right]$

Ta có $\forall x \in \left[ {1;4} \right]$ thì $f\left( x \right) = m{x^2} + 2mx - 3 \le 0 \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 2x} \right) \le 3$

$\Leftrightarrow g\left( x \right) = \dfrac{3}{{{x^2} + 2x}} \ge m,\,\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) \ge m$

Do $g\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}}$ giảm trên đoạn $\left[ {1;4} \right]$ nên:

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 4 \right) = \dfrac{1}{8} \ge m$ .

c) Tìm $m$ để bất phương trình $f\left( x \right) \ge 0$ có nghiệm $x \in \left[ { - 1;3} \right]$

Ta có với $x \in \left[ { - 1;3} \right]$ thì $f\left( x \right) = m{x^2} + 2mx - 3 \ge 0 \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 2x} \right) \ge 3$ .

Đặt $g\left( x \right) = \dfrac{3}{{{x^2} + 2x}},\,\,x \in \left[ { - 1;3} \right].$ Xét các khả năng sau đây:

+ Nếu $x = 0$ thì BPT trở thành $m.0 = 0 \ge 3$ nên vô nghiệm

+ Nếu $x \in \left( {0;3} \right]$ thì BPT $\Leftrightarrow g\left( x \right) \le m$ có nghiệm $x \in \left( {0;3} \right] \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0;3} \right]} g\left( x \right) \le m$

Do $g\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}}$ giảm trên $\left( {0;3} \right]$ nên yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 3 \right) = \dfrac{1}{5} \le m$

+ Nếu $x \in \left[ { - 1;0} \right)$ thì ${x^2} + 2x < 0$ nên BPT $\Leftrightarrow g\left( x \right) \ge m$ có nghiệm $x \in \left[ { - 1;0} \right) \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;0} \right)} g\left( x \right) \ge m$

Ta có $g'\left( x \right) = \dfrac{{ - 3\left( {2x + 2} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}}} \le 0,\,\,\forall x \in \left[ { - 1;0} \right)$

Do đó $g\left( x \right)$ nghịch biến nên ta có $\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;0} \right)} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) = - 3 \ge m$

Vậy $f\left( x \right) \ge 0$ có nghiệm $x \in \left[ { - 1;3} \right] \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {\dfrac{1}{5}; + \infty } \right).$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.