Cho hàm số \(f\left( x \right) = m{x^2} + 2mx - 3\). Ghép cột A với cột B cho ở bảng dưới

Câu hỏi số 720266:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = m{x^2} + 2mx - 3\). Ghép cột A với cột B cho ở bảng dưới đây.

Xem lời giải

Câu hỏi:720266

Giải chi tiết

Đáp số: 1 – b, 2 – a, 3 – c.

a) Tìm \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm \(x \in \left[ {1;2} \right]\)

Biến đổi phương trình \(f\left( x \right) = 0\) ta có: \(f\left( x \right) = m{x^2} + 2mx - 3 = 0 \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 2x} \right) = 3\)

\( \Leftrightarrow g\left( x \right) = \dfrac{3}{{{x^2} + 2x}} = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}} = m\).

Ta có \(g'\left( x \right) = - \dfrac{{3\left( {2x + 2} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) nên \(g\left( x \right)\) giảm trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\).

\(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm \(x \in \left[ {1;2} \right]\) thì \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} g\left( x \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} g\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{3}{8} \le m \le 1\).

b) Tìm \(m\) để bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ {1;4} \right]\)

Ta có \(\forall x \in \left[ {1;4} \right]\) thì \(f\left( x \right) = m{x^2} + 2mx - 3 \le 0 \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 2x} \right) \le 3\)

\( \Leftrightarrow g\left( x \right) = \dfrac{3}{{{x^2} + 2x}} \ge m,\,\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) \ge m\)

Do \(g\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}}\) giảm trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\) nên:

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 4 \right) = \dfrac{1}{8} \ge m\).

c) Tìm \(m\) để bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) có nghiệm \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\)

Ta có với \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\) thì \(f\left( x \right) = m{x^2} + 2mx - 3 \ge 0 \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 2x} \right) \ge 3\).

Đặt \(g\left( x \right) = \dfrac{3}{{{x^2} + 2x}},\,\,x \in \left[ { - 1;3} \right].\) Xét các khả năng sau đây:

+ Nếu \(x = 0\) thì BPT trở thành \(m.0 = 0 \ge 3\) nên vô nghiệm

+ Nếu \(x \in \left( {0;3} \right]\) thì BPT \( \Leftrightarrow g\left( x \right) \le m\) có nghiệm \(x \in \left( {0;3} \right] \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0;3} \right]} g\left( x \right) \le m\)

Do \(g\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}}\) giảm trên \(\left( {0;3} \right]\) nên yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 3 \right) = \dfrac{1}{5} \le m\)

+ Nếu \(x \in \left[ { - 1;0} \right)\) thì \({x^2} + 2x < 0\) nên BPT \( \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge m\) có nghiệm \(x \in \left[ { - 1;0} \right) \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;0} \right)} g\left( x \right) \ge m\)

Ta có \(g'\left( x \right) = \dfrac{{ - 3\left( {2x + 2} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}}} \le 0,\,\,\forall x \in \left[ { - 1;0} \right)\)

Do đó \(g\left( x \right)\) nghịch biến nên ta có \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;0} \right)} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) = - 3 \ge m\)

Vậy \(f\left( x \right) \ge 0\) có nghiệm \(x \in \left[ { - 1;3} \right] \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {\dfrac{1}{5}; + \infty } \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.