Phương trình ${x^2} + 2x - 8 = \sqrt {m\left( {x - 2} \right)}$ luôn có đúng hai nghiệm phân biệt lớn

Câu hỏi số 720274:

Vận dụng

Phương trình ${x^2} + 2x - 8 = \sqrt {m\left( {x - 2} \right)}$ luôn có đúng hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2 khi:

$m > 0$

$m \ge 1$

$m < 0$

$m > 2$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720274

Giải chi tiết

Điều kiện: $x \ge 2$ .

Biến đổi phương trình ta có: $\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 6} \right) = \sqrt {m\left( {x - 2} \right)}$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x + 6} \right)^2} = m\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^3} + 6{x^2} - 32 - m} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\g\left( x \right) = {x^3} + 6{x^2} - 32 = m\end{array} \right.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow g\left( x \right) = m$ có đúng một nghiệm thuộc khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$

Thật vậy ta có: $g'\left( x \right) = 3x\left( {x + 4} \right) > 0,\,\,\forall x > 2$

Do đó $g\left( x \right)$ đồng biến mà $g\left( x \right)$ liên tục và $g\left( 2 \right) = 0\,;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = + \infty$

$\Rightarrow g\left( x \right) = m$ có đúng một nghiệm thuộc khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ .

Vậy $\forall m > 0,$ phương trình ${x^2} + 2x - 8 = \sqrt {m\left( {x - 2} \right)}$ luôn có đúng hai nghiệm phân biệt.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.