Phương trình \({x^2} + 2x - 8 = \sqrt {m\left( {x - 2} \right)} \) luôn có đúng hai nghiệm phân biệt lớn

Câu hỏi số 720274:

Vận dụng

Phương trình \({x^2} + 2x - 8 = \sqrt {m\left( {x - 2} \right)} \) luôn có đúng hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2 khi:

A. \(m > 0\)

B. \(m \ge 1\)

C. \(m < 0\)

D. \(m > 2\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:720274

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x \ge 2\).

Biến đổi phương trình ta có: \( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 6} \right) = \sqrt {m\left( {x - 2} \right)} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x + 6} \right)^2} = m\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^3} + 6{x^2} - 32 - m} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\g\left( x \right) = {x^3} + 6{x^2} - 32 = m\end{array} \right.\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow g\left( x \right) = m\) có đúng một nghiệm thuộc khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Thật vậy ta có: \(g'\left( x \right) = 3x\left( {x + 4} \right) > 0,\,\,\forall x > 2\)

Do đó \(g\left( x \right)\) đồng biến mà \(g\left( x \right)\) liên tục và \(g\left( 2 \right) = 0\,;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = + \infty \)

\( \Rightarrow g\left( x \right) = m\) có đúng một nghiệm thuộc khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Vậy \(\forall m > 0,\) phương trình \({x^2} + 2x - 8 = \sqrt {m\left( {x - 2} \right)} \) luôn có đúng hai nghiệm phân biệt.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.