Giá trị nguyên lớn nhất của $m$ để phương trình \(x\sqrt x + \sqrt {x + 12} =

Câu hỏi số 720273:

Vận dụng

Giá trị nguyên lớn nhất của $m$ để phương trình $x\sqrt x + \sqrt {x + 12} = m\left( {\sqrt {5 - x} + \sqrt {4 - x} } \right)$ có nghiệm là?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720273

Giải chi tiết

Điều kiện $0 \le x \le 4$ .

Biến đổi phương trình $\Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{x\sqrt x + \sqrt {x + 12} }}{{\sqrt {5 - x} + \sqrt {4 - x} }} = m$

Chú ý: Nếu tính $f'\left( x \right)$ rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn.

Thủ thuật:

Đặt $g\left( x \right) = x\sqrt x + \sqrt {x + 12} > 0 \Rightarrow g'\left( x \right) = \dfrac{3}{2}\sqrt x + \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 12} }} > 0$

$h\left( x \right) = \sqrt {5 - x} + \sqrt {4 - x} > 0 \Rightarrow h'\left( x \right) = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {5 - x} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} < 0$

Suy ra $g\left( x \right) > 0$ và tăng; $h\left( x \right) > 0$ và giảm hay $\dfrac{1}{{h\left( x \right)}} > 0$ và tăng

$\Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{g\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}}$ tăng. Suy ra $f\left( x \right) = m$ có nghiệm

$\Leftrightarrow m \in \left[ {\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right);\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right)} \right] = \left[ {f\left( 0 \right);f\left( 4 \right)} \right] = \left[ {2\left( {\sqrt {15} - \sqrt {12} } \right);12} \right]$ .

Vậy $m \in \left[ {2\left( {\sqrt {15} - \sqrt {12} } \right);12} \right]$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp số: 12.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.