Giá trị nguyên lớn nhất của \(m\) để phương trình \(x\sqrt x + \sqrt {x + 12} =

Câu hỏi số 720273:

Vận dụng

Giá trị nguyên lớn nhất của \(m\) để phương trình \(x\sqrt x + \sqrt {x + 12} = m\left( {\sqrt {5 - x} + \sqrt {4 - x} } \right)\) có nghiệm là?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720273

Giải chi tiết

Điều kiện \(0 \le x \le 4\).

Biến đổi phương trình \( \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{x\sqrt x + \sqrt {x + 12} }}{{\sqrt {5 - x} + \sqrt {4 - x} }} = m\)

Chú ý: Nếu tính \(f'\left( x \right)\) rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn.

Thủ thuật:

Đặt \(g\left( x \right) = x\sqrt x + \sqrt {x + 12} > 0 \Rightarrow g'\left( x \right) = \dfrac{3}{2}\sqrt x + \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 12} }} > 0\)

\(h\left( x \right) = \sqrt {5 - x} + \sqrt {4 - x} > 0 \Rightarrow h'\left( x \right) = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {5 - x} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} < 0\)

Suy ra \(g\left( x \right) > 0\) và tăng; \(h\left( x \right) > 0\) và giảm hay \(\dfrac{1}{{h\left( x \right)}} > 0\) và tăng

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{g\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}}\) tăng. Suy ra \(f\left( x \right) = m\) có nghiệm

\( \Leftrightarrow m \in \left[ {\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right);\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right)} \right] = \left[ {f\left( 0 \right);f\left( 4 \right)} \right] = \left[ {2\left( {\sqrt {15} - \sqrt {12} } \right);12} \right]\).

Vậy \(m \in \left[ {2\left( {\sqrt {15} - \sqrt {12} } \right);12} \right]\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp số: 12.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.