Tổng các giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 50,50} \right]\) để hệ phương trình có nghiệm

Câu hỏi số 720275:

Vận dụng cao

Tổng các giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 50,50} \right]\) để hệ phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} + y + \dfrac{1}{y} = 5\\{x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} + {y^3} + \dfrac{1}{{{y^3}}} = 15m - 10\end{array} \right.\) là:

Xem lời giải

Câu hỏi:720275

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + \dfrac{1}{x}\\v = y + \dfrac{1}{y}\end{array} \right.\,\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} = {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^3} - 3x.\dfrac{1}{x}.\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) = u - 3u\\{y^3} + \dfrac{1}{{{y^3}}} = {\left( {y + \dfrac{1}{y}} \right)^3} - 3y.\dfrac{1}{y}.\left( {y + \dfrac{1}{y}} \right) = v - 3v\end{array} \right.\)

Và \(\left| u \right| = \left| {x + \dfrac{1}{x}} \right| = \left| x \right| + \left| {\dfrac{1}{x}} \right| \ge 2\sqrt {\left| x \right|.\left| {\dfrac{1}{x}} \right|} = 2\,\,;\,\,\,\,\left| v \right| = \left| {y + \dfrac{1}{y}} \right| \ge \left| y \right| + \left| {\dfrac{1}{y}} \right| \ge 2\sqrt {\left| y \right|.\left| {\dfrac{1}{y}} \right|} = 2\)

Khi đó hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 5\\{u^3} + {v^3} - 3\left( {u + v} \right) = 15m - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 5\\uv = 8 - m\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow u,v\) là nghiệm của phương trình bậc hai \(f\left( t \right) = {t^2} - 5t + 8 = m\).

Hệ có nghiệm \( \Leftrightarrow f\left( t \right) = m\) có hai nghiệm \({t_1},{t_2}\) thỏa mãn \(\left| {{t_1}} \right| \ge 2\,;\,\,\left| {{t_2}} \right| \ge 2\).

Lập bảng biến thiên của hàm số \(f\left( t \right)\) với \(\left| t \right| \ge 2\)

Nhìn bảng biến thiên ta có hệ phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{7}{4} \le m \le 2\\m \ge 22\end{array} \right.\)

Vậy \(m \in \left[ {\dfrac{7}{4};2} \right] \cup \left[ {22; + \infty } \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Mà m nguyên nên \(m \in \left\{ {2,22,50} \right\} \Rightarrow \sum\limits_{}^{} m = 1046\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.