Tìm số nguyên \(m\) nhỏ nhất để \(\sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {3 + x}

Câu hỏi số 720279:

Vận dụng

Tìm số nguyên \(m\) nhỏ nhất để \(\sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {3 + x} \right)} \le 2m\,\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm.

Xem lời giải

Câu hỏi:720279

Giải chi tiết

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1\\ - 3 \le x \le - 2\end{array} \right.\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {3 - 2x - {x^2}} \le 2m\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = 3 - 2x - {x^2} \Rightarrow t' = - 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra tập giá trị của \(t\) là \(t \in \left[ {0;3} \right]\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2m \ge \sqrt {3 - t} + \sqrt t = f\left( t \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Để \(\left( * \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ {0;3} \right] \Leftrightarrow 2m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \sqrt {3 - t} + \sqrt t \) trên \(\left[ {0;3} \right]\)

Ta có \(f'\left( t \right) = - \dfrac{1}{{2\sqrt {3 - t} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt t }}\). Cho \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2}\).

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = \sqrt 3 \Rightarrow ycbt \Leftrightarrow 2m \ge \sqrt 3 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Kết luận: Vậy \(m \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) thì bất phương trình đã cho có nghiệm.

Vậy m = 1 là số nguyên m nhỏ nhất để bất phương trình có nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.