Tìm tham số thực \(m\) để phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 5} \ge {x^2} - 4x + m\,\,\,\left( 1

Câu hỏi số 720278:

Vận dụng

Tìm tham số thực \(m\) để phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 5} \ge {x^2} - 4x + m\,\,\,\left( 1 \right)\) có nghiệm thực trong đoạn \(\left[ {2;3} \right].\)

A. \(m \le 5\)

B. \(m > 5\)

C. \(m \le 4\)

D. \(0 < n \le 5\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:720278

Giải chi tiết

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x + 5} \ge 1 \Rightarrow {x^2} - 4x = {t^2} - 5\) mà \(x \in \left[ {2;3} \right] \Rightarrow t \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right]\)

Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow t \ge {t^2} - 5 + m \Leftrightarrow m \le - {t^2} + t + 5 = g\left( t \right)\,\,\left( 2 \right)\).

Để (1) có nghiệm \(x \in \left[ {2;3} \right]\) thì (2) có nghiệm \(t \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {max}\limits_{\left[ {1;\sqrt 2 } \right]} g\left( t \right)\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = - {t^2} + t + 5\) trên \(\left[ {1;\sqrt 2 } \right]\).

Ta có \(g'\left( t \right) = - 2t + 1.\) Cho \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\).

Bảng biến thiên:

Ta được \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;\sqrt 2 } \right]} g\left( t \right) = 5\) khi \(t = 1\).

Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên, \(m \le 5\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.