Tìm \(m\) để bất phương trình \({x^3} + 3{x^2} - 1 \le m{\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)^3}\)

Câu hỏi số 720280:

Vận dụng

Tìm \(m\) để bất phương trình \({x^3} + 3{x^2} - 1 \le m{\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)^3}\) có nghiệm.

A. \(m \in \left( {0, + \infty } \right)\)

B. \(m \in \left( { - \infty ,3} \right)\)

C. \(m \in \left( {0,3} \right)\)

D. \(m \in \left[ {3; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:720280

Giải chi tiết

Điều kiện \(x \ge 1\).

Nhân cả hai vế BPT với \({\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)^3} > 0\) ta nhận được

Bất phương trình \(f\left( x \right) = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 1} \right){\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)^3} \le m\)

Đặt \(g\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 1\,;\,\,h\left( x \right) = {\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)^3}\)

Ta có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x > 0,\,\,\forall x \ge 1\,;\,\,h'\left( x \right) = 3{\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)^2}\left( {\dfrac{1}{{2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}} \right) > 0\)

Do \(g\left( x \right) > 0\) và tăng \(\forall x \ge 1\,;\,\,h\left( x \right) > 0\) và tăng nên \(f\left( x \right) = g\left( x \right).h\left( x \right)\) tăng \(\forall x \ge 1\)

Khi đó BPT \(f\left( x \right) \le m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \ge 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 3 \le m\)

Vậy \(m \in \left[ {3; + \infty } \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.