Tìm \(m\) để bất phương trình \({x^3} + 3{x^2} - 1 \le m{\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)^3}\)
Tìm \(m\) để bất phương trình \({x^3} + 3{x^2} - 1 \le m{\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)^3}\) có nghiệm.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Điều kiện \(x \ge 1\).
Nhân cả hai vế BPT với \({\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)^3} > 0\) ta nhận được
Bất phương trình \(f\left( x \right) = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 1} \right){\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)^3} \le m\)
Đặt \(g\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 1\,;\,\,h\left( x \right) = {\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)^3}\)
Ta có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x > 0,\,\,\forall x \ge 1\,;\,\,h'\left( x \right) = 3{\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)^2}\left( {\dfrac{1}{{2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}} \right) > 0\)
Do \(g\left( x \right) > 0\) và tăng \(\forall x \ge 1\,;\,\,h\left( x \right) > 0\) và tăng nên \(f\left( x \right) = g\left( x \right).h\left( x \right)\) tăng \(\forall x \ge 1\)
Khi đó BPT \(f\left( x \right) \le m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \ge 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 3 \le m\)
Vậy \(m \in \left[ {3; + \infty } \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Hỗ trợ - Hướng dẫn

-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com