Tìm \(m\) để bất phương trình \( - {x^3} + 3mx - 2 < \dfrac{{ - 1}}{{{x^3}}}\) nghiệm đúng \(\forall x

Câu hỏi số 720281:

Vận dụng

Tìm \(m\) để bất phương trình \( - {x^3} + 3mx - 2 < \dfrac{{ - 1}}{{{x^3}}}\) nghiệm đúng \(\forall x \ge 1.\)

A. \(m \in \left( {\dfrac{2}{3}, + \infty } \right)\)

B. \(m \in \left( { - \infty ;\dfrac{2}{3}} \right)\)

C. \(m \in \left[ {0,\dfrac{2}{3}} \right]\)

D. \(m \in \left( { - \infty ,0} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:720281

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l} - {x^3} + 3mx - 2 < \dfrac{{ - 1}}{{{x^3}}},\,\,\forall x \ge 1 \Leftrightarrow 3mx < {x^3} - \dfrac{1}{{{x^3}}} + 2,\,\,\forall x \ge 1\\ \Leftrightarrow 3m < {x^2} - \dfrac{1}{{{x^4}}} + \dfrac{2}{x} = f\left( x \right),\,\,\forall x \le 1\end{array}\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 2x + \dfrac{4}{{{x^5}}} - \dfrac{2}{{{x^2}}} \ge 2\sqrt {2x.\dfrac{4}{{{x^5}}}} - \dfrac{2}{{{x^2}}} = \dfrac{{4\sqrt 2 - 2}}{{{x^2}}} > 0\). Suy ra \(f\left( x \right)\) tăng.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow 3m < f\left( x \right),\,\,\forall x \ge 1 \Leftrightarrow 3m \le \mathop {\min }\limits_{x \ge 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow m < \dfrac{2}{3}\).

Vậy \(m \in \left( { - \infty ;\dfrac{2}{3}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.