Tìm $m$ để bất phương trình $- {x^3} + 3mx - 2 < \dfrac{{ - 1}}{{{x^3}}}$ nghiệm đúng \(\forall x

Câu hỏi số 720281:

Vận dụng

Tìm $m$ để bất phương trình $- {x^3} + 3mx - 2 < \dfrac{{ - 1}}{{{x^3}}}$ nghiệm đúng $\forall x \ge 1.$

$m \in \left( {\dfrac{2}{3}, + \infty } \right)$

$m \in \left( { - \infty ;\dfrac{2}{3}} \right)$

$m \in \left[ {0,\dfrac{2}{3}} \right]$

$m \in \left( { - \infty ,0} \right)$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720281

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} - {x^3} + 3mx - 2 < \dfrac{{ - 1}}{{{x^3}}},\,\,\forall x \ge 1 \Leftrightarrow 3mx < {x^3} - \dfrac{1}{{{x^3}}} + 2,\,\,\forall x \ge 1\\ \Leftrightarrow 3m < {x^2} - \dfrac{1}{{{x^4}}} + \dfrac{2}{x} = f\left( x \right),\,\,\forall x \le 1\end{array}$

Ta có $f'\left( x \right) = 2x + \dfrac{4}{{{x^5}}} - \dfrac{2}{{{x^2}}} \ge 2\sqrt {2x.\dfrac{4}{{{x^5}}}} - \dfrac{2}{{{x^2}}} = \dfrac{{4\sqrt 2 - 2}}{{{x^2}}} > 0$ . Suy ra $f\left( x \right)$ tăng.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 3m < f\left( x \right),\,\,\forall x \ge 1 \Leftrightarrow 3m \le \mathop {\min }\limits_{x \ge 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow m < \dfrac{2}{3}$ .

Vậy $m \in \left( { - \infty ;\dfrac{2}{3}} \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.