Tìm \(m\) nguyên nhỏ nhất để bất phương trình \(m{.4^x} + \left( {m - 1} \right){.2^{x + 2}} + m - 1 >

Câu hỏi số 720282:

Vận dụng

Tìm \(m\) nguyên nhỏ nhất để bất phương trình \(m{.4^x} + \left( {m - 1} \right){.2^{x + 2}} + m - 1 > 0\,\,\,\left( 1 \right)\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:720282

Giải chi tiết

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m{\left( {{2^x}} \right)^2} + 4\left( {m - 1} \right){2^x} + m - 1 > 0\), đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Đặt \(t = {2^x} > 0\) thì suy ra

\(\begin{array}{l}ycbt \Leftrightarrow m.{t^2} + 4\left( {m - 1} \right)t + \left( {m - 1} \right) > 0,\,\,\forall t > 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m\left( {{t^2} + 4t + 1} \right) > 4t + 1,\,\,\forall t > 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m > g\left( t \right) = \dfrac{{4t + 1}}{{{t^2} + 4t + 1}},\,\,\forall t > 0\end{array}\)

Ta có \(g'\left( t \right) = \dfrac{{ - 4{t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + 4t + 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall t > 0\) nên \(g\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mặt khác do hàm số \(g\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) nên yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m > \mathop {\max }\limits_{t \ge 0} g\left( t \right) = g\left( 0 \right) = 1\).

Vậy \(m \in \left( {1; + \infty } \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.