Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BE và CF cắt

Câu hỏi số 720321:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại điếm H.

1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.

2) Vẽ đường kính AD của đường tròn (O), gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, gọi K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF với đường tròn (O), biết K khác A. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành và bốn điểm D, M, H, K thẳng hàng.

3) Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC. Chứng minh H là trực tâm của tam giác AMP.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720321

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

1) Do BE, CF là đương cao của $\Delta ABC \Rightarrow \angle HEA = \angle HFA = {90^0}$

$\Rightarrow \angle HEA + \angle HFA = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH (dhnb)

Gọi I là trung điểm của AH nên I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

2) Do AD là đường kính nên $\angle DCA = \angle DBA = {90^0} \Rightarrow CD \bot AC,DB \bot AB$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\left( {gt} \right)\\CD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow CD\parallel BH$

Tương tự $BD\parallel CH\left( { \bot AB} \right)$

$\Rightarrow CDHB$ là hình bình hành

Mà M là trung điểm BC nên M là trung điểm của HD

Ta có $\angle AKD = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) $\Rightarrow DH \bot AK$

Mà $\angle AKH = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I)) $\Rightarrow HK \bot AK$

$\Rightarrow D,M,H,K$ thẳng hàng.

3) Gọi K’ là giao điểm của AP với (O)

Ta có $\angle BEC = \angle BFC = {90^0}$ nên $BFEC$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle BFP = \angle BCE$ (góc ngoài của đỉnh đối diện)

$\Rightarrow \Delta PFB$ ~ $\Delta PCE\left( {g.g} \right) \Rightarrow PB.PC = PE.PF$

Tương tự AK’BC nội tiếp (O)

$\Rightarrow \angle PK'B = \angle PCA \Rightarrow \Delta PK'B$ ~ $\Delta PCA \Rightarrow PB.PC = PK'.PA$

$\Rightarrow PE.PF = PK'.PK \Rightarrow E,F,K',A$ cùng thuộc đường tròn đường kính AH

$\Rightarrow K,K'$ cùng thuộc (O) và (N) và khác A nên $K \equiv K'$ hay A, K, P thẳng hàng

$\Rightarrow \Delta APM$ có AH, MH là các đường cao cắt nhau tại H nên H là trực tâm của $\Delta APM$

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.