Cho tam giác ABC nhọn, kẻ hai đường cao BE và CD (E thuộc AC, D thuộc AB).1) Chứng minh tứ giác BDEC
Cho tam giác ABC nhọn, kẻ hai đường cao BE và CD (E thuộc AC, D thuộc AB).
1) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.
2) Chứng minh \(AD.AB = AE.AC\).
3) Cho \(BC = 12\;{\rm{cm}},\angle {BAC} = 30^\circ \). Gọi N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC. Tính diện tích hình giới hạn bởi dây DE và cung nhỏ DE của đường tròn tâm N.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
1) Do BE, CD là đường cao nên \(\angle BEC = \angle BDC = {90^0}\)
Mà D, E kề nhau, cùng nhìn BC dưới góc \({90^0}\) nên B,D,E,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BDEC nội tiếp
2) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có \(\angle BAC\) chung
\(\angle ABE = \angle ACD\) (góc nội tiếp cùng chắn cung DE)
\( \Rightarrow \Delta ABE\)~ \(\Delta ACD\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AD}}\)
\( \Rightarrow AB.AD = AE.AC\)
3) Do N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC nên N là trung điểm của BC
\(BC = 12 \Rightarrow r = NB = 6cm\)
\(\Delta NDB\) cân nên \(\angle BND = {180^0} - 2\angle DBN\) (tổng các góc trong tam giác)
Tương tự \(\angle CNE = {180^0} - 2\angle NCA\)
Ta có \(\angle DNE = {180^0} - \angle BND - \angle CNE\)
\(\begin{array}{l} = {180^0} - \left( {{{180}^0} - 2\angle DBN} \right) - \left( {{{180}^0} - 2\angle NCA} \right)\\ = 2\angle DBN + 2\angle NCA - {180^0}\\ = 2\left( {\angle DBN + \angle NCA} \right) - {180^0}\\ = 2\left( {{{180}^0} - \angle BAC} \right) - {180^0}\\ = 2\left( {{{180}^0} - {{30}^0}} \right) - {180^0}\\ = {120^0}\end{array}\)
Diện tích hình quạt tạo bởi cung nhỏ DE của (N) là \({S_q} = \dfrac{{\pi {{.6}^2}.120}}{{360}} = 12\pi c{m^2}\)
Gọi H là trung điểm của DE nên \(NH \bot DE\)
\(\Delta NDE\) cân có \(\angle DNE = {120^0} \Rightarrow \angle NDE = {30^0}\)
\( \Rightarrow DH = \cos {30^0}.DN = \cos {30^0}.6 = 3\sqrt 3 \Rightarrow DE = 6\sqrt 3 cm\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow NH = ND.\sin {30^0} = 3cm\\ \Rightarrow {S_{\Delta NDE}} = \dfrac{1}{2}NH.DE = \dfrac{1}{2}.3.6\sqrt 3 = 9\sqrt 3 c{m^2}\end{array}\)
Diện tích hình giới hạn bởi dây DE và cung nhỏ DE của đường tròn tâm N là
\(S = {S_q} - {S_{\Delta NDE}} = 12\pi - 9\sqrt 3 \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
