Cho tam giác ABC nhọn, kẻ hai đường cao BE và CD (E thuộc AC, D thuộc AB).1) Chứng minh tứ giác BDEC

Câu hỏi số 720330:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC nhọn, kẻ hai đường cao BE và CD (E thuộc AC, D thuộc AB).

1) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.

2) Chứng minh $AD.AB = AE.AC$ .

3) Cho $BC = 12\;{\rm{cm}},\angle {BAC} = 30^\circ$ . Gọi N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC. Tính diện tích hình giới hạn bởi dây DE và cung nhỏ DE của đường tròn tâm N.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720330

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

1) Do BE, CD là đường cao nên $\angle BEC = \angle BDC = {90^0}$

Mà D, E kề nhau, cùng nhìn BC dưới góc ${90^0}$ nên B,D,E,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BDEC nội tiếp

2) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACD$ có $\angle BAC$ chung

$\angle ABE = \angle ACD$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DE)

$\Rightarrow \Delta ABE$ ~ $\Delta ACD\left( {g.g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AD}}$

$\Rightarrow AB.AD = AE.AC$

3) Do N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC nên N là trung điểm của BC

$BC = 12 \Rightarrow r = NB = 6cm$

$\Delta NDB$ cân nên $\angle BND = {180^0} - 2\angle DBN$ (tổng các góc trong tam giác)

Tương tự $\angle CNE = {180^0} - 2\angle NCA$

Ta có $\angle DNE = {180^0} - \angle BND - \angle CNE$

$\begin{array}{l} = {180^0} - \left( {{{180}^0} - 2\angle DBN} \right) - \left( {{{180}^0} - 2\angle NCA} \right)\\ = 2\angle DBN + 2\angle NCA - {180^0}\\ = 2\left( {\angle DBN + \angle NCA} \right) - {180^0}\\ = 2\left( {{{180}^0} - \angle BAC} \right) - {180^0}\\ = 2\left( {{{180}^0} - {{30}^0}} \right) - {180^0}\\ = {120^0}\end{array}$

Diện tích hình quạt tạo bởi cung nhỏ DE của (N) là ${S_q} = \dfrac{{\pi {{.6}^2}.120}}{{360}} = 12\pi c{m^2}$

Gọi H là trung điểm của DE nên $NH \bot DE$

$\Delta NDE$ cân có $\angle DNE = {120^0} \Rightarrow \angle NDE = {30^0}$

$\Rightarrow DH = \cos {30^0}.DN = \cos {30^0}.6 = 3\sqrt 3 \Rightarrow DE = 6\sqrt 3 cm$

$\begin{array}{l} \Rightarrow NH = ND.\sin {30^0} = 3cm\\ \Rightarrow {S_{\Delta NDE}} = \dfrac{1}{2}NH.DE = \dfrac{1}{2}.3.6\sqrt 3 = 9\sqrt 3 c{m^2}\end{array}$

Diện tích hình giới hạn bởi dây DE và cung nhỏ DE của đường tròn tâm N là

$S = {S_q} - {S_{\Delta NDE}} = 12\pi - 9\sqrt 3 \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.