Đường cao tốc mới xây nối hai thành phố A và B , hai thành phố này muốn xây một trạm thu phí

Câu hỏi số 720354:

Vận dụng

Đường cao tốc mới xây nối hai thành phố A và B , hai thành phố này muốn xây một trạm thu phí và trạm xăng ở trên đường cao tốc như hình vẽ. Để tiết kiệm chi phí đi lại, hai thành phố này quyết định toán xem xây trạm thu phí ở vị trí nào để tổng khoảng cách từ hai trung tâm thành phố đến trạm là ngắn nhất, biết khoảng cách từ trung tâm thành phố A, B đến đường cao tốc lần lượt là 60 km và 40 km và khoảng cách giữa hai trung tâm thành phố là 120 km (được tính theo khoảng cách của hình chiếu vuông góc của hai trung tâm thành phố lên đường cao tốc, tức là PQ kí hiệu như hình vẽ). Tìm vị trí của trạm thu phí và trạm xăng? (Giả sử chiều rộng của trạm thu phí không đáng kể).

A. 72 km kể từ P

B. 42 km kể từ Q

C. 48 km kể từ P

D. tại P

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:720354

Giải chi tiết

Thực chất bài toàn trở thành tìm x để \({\rm{AC}} + {\rm{BC}}\) nhỏ nhất.

Theo định lý Pytago ta có \({\rm{AC}} = \sqrt {{{60}^2} + {{\rm{x}}^2}} \);

\({\rm{BC}} = \sqrt {\left( {120 - {{\rm{x}}^2}} \right) + {{40}^2}} = \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 240{\rm{x}} + 16000} \)

Khi đó \(f(x) = AC + BC = \sqrt {{x^2} + 3600} + \sqrt {{x^2} - 240x + 16000} \).

Ta cần tìm \(\mathop {{\mathop{\rm Min}\nolimits} }\limits_{(0;12)} f(x)\).

Ta có \(f'(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3600} }} + \dfrac{{x - 120}}{{\sqrt {{x^2} - 240x + 16000} }}\);

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 72\)

Vậy từ đó ta có thể kết luận CP = 72.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.