Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C khoảng

Câu hỏi số 720353:

Vận dụng

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km . Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất?

A. \(\dfrac{{15}}{4}\;{\rm{km}}\).

B. \(\dfrac{{13}}{4}\;{\rm{km}}\).

C. \(\dfrac{{10}}{4}\;{\rm{km}}\).

D. \(\dfrac{{19}}{4}\;{\rm{km}}\).

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:720353

Giải chi tiết

Gọi x là khoảng cách từ A dến \(S(0 \le x \le 4)\), ta có \(BS = 4 - x,CS = \sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} = \sqrt {{x^2} - 8x + 17} \).

Chi phí cho đường dây diện là \(y = 3000x + 5000\sqrt {{x^2} - 8x + 17} \).

Muốn ít tốn kém chi phí nhất ta cần tìm \(x\) để \({y_{\min }}\).

Xét hàm số \(y = 3000x + 5000\sqrt {{x^2} - 8x + 17} \) với \(x \in [0,4]\).

Ta có \({y^\prime } = 3000 + \dfrac{{5000(2x - 8)}}{{2\sqrt {{x^2} - 8x + 17} }} = \dfrac{{1000\left( {3\sqrt {{x^2} - 8x + 17} + 5x - 20} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 17} }}\).

\({y^\prime } = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} - 8x + 17} = 20 - 5x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 4}\\{9{x^2} - 72x + 153 = 400 - 200x + 25{x^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 4}\\{16{x^2} - 128x + 247 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 4}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{19}}{4}({\rm{ loai }})}\\{x = \dfrac{{13}}{4}({\rm{ nhan }})}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Mà \(y(0) = 5000\sqrt {17} ,y(4) = 17000,y\left( {\dfrac{{13}}{4}} \right) = 16000\).

Suy ra \({\min _{[0,4]}}y = 16000\) khi \(x = \dfrac{{13}}{4}\;{\rm{km}}\).

Lập bảng xét dấu ta có \(x = 2\sqrt 2 \) thì khối chóp đạt giá trị lớn nhất.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.