Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C khoảng

Câu hỏi số 720353:

Vận dụng

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km . Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất?

$\dfrac{{15}}{4}\;{\rm{km}}$ .

$\dfrac{{13}}{4}\;{\rm{km}}$ .

$\dfrac{{10}}{4}\;{\rm{km}}$ .

$\dfrac{{19}}{4}\;{\rm{km}}$ .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720353

Giải chi tiết

Gọi x là khoảng cách từ A dến $S(0 \le x \le 4)$ , ta có $BS = 4 - x,CS = \sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} = \sqrt {{x^2} - 8x + 17}$ .

Chi phí cho đường dây diện là $y = 3000x + 5000\sqrt {{x^2} - 8x + 17}$ .

Muốn ít tốn kém chi phí nhất ta cần tìm $x$ để ${y_{\min }}$ .

Xét hàm số $y = 3000x + 5000\sqrt {{x^2} - 8x + 17}$ với $x \in [0,4]$ .

Ta có ${y^\prime } = 3000 + \dfrac{{5000(2x - 8)}}{{2\sqrt {{x^2} - 8x + 17} }} = \dfrac{{1000\left( {3\sqrt {{x^2} - 8x + 17} + 5x - 20} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 17} }}$ .

${y^\prime } = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} - 8x + 17} = 20 - 5x$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 4}\\{9{x^2} - 72x + 153 = 400 - 200x + 25{x^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 4}\\{16{x^2} - 128x + 247 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 4}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{19}}{4}({\rm{ loai }})}\\{x = \dfrac{{13}}{4}({\rm{ nhan }})}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Mà $y(0) = 5000\sqrt {17} ,y(4) = 17000,y\left( {\dfrac{{13}}{4}} \right) = 16000$ .

Suy ra ${\min _{[0,4]}}y = 16000$ khi $x = \dfrac{{13}}{4}\;{\rm{km}}$ .

Lập bảng xét dấu ta có $x = 2\sqrt 2$ thì khối chóp đạt giá trị lớn nhất.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.