Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm , cần xả thành một chiếc xà có

Câu hỏi số 720360:

Vận dụng

Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm , cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng $x$ của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

$x = \dfrac{{3\sqrt {34} - 17\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})$ .

$x = \dfrac{{3\sqrt {34} - 19\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})$ .

$x = \dfrac{{5\sqrt {34} - 15\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})$ .

$x = \dfrac{{5\sqrt {34} - 13\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})$ .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720360

Giải chi tiết

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và dài của miếng phụ.

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là $S = {S_{MNPQ}} + 4xy$ .

Cạnh hình vuông $MN = \dfrac{{MP}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{40}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2 (\;{\rm{cm}})$ .

$\Rightarrow S = {(20\sqrt 2 )^2} + 4xy = 800 + 4xy(1)$

Ta có $2x = AB - MN = AB - 20\sqrt 2 < BD - 20\sqrt 2 = 40 - 20\sqrt 2$ . $\Rightarrow 0 < x < 20 - 10\sqrt 2$ .

Lai có $A{B^2} + A{D^2} = B{D^2} = {40^2} \Rightarrow {(2x + 20\sqrt 2 )^2} + {y^2} = 1600$ .

$\Rightarrow {y^2} = 800 - 80x\sqrt 2 - 4{x^2} \Rightarrow y = \sqrt {800 - 80x\sqrt 2 - 4{x^2}}$

Thế vào $(1) \Rightarrow S = 800 + 4x\sqrt {800 - 80x\sqrt 2 - 4{x^2}} = 800 + 4\sqrt {800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2 - 4{x^4}}$ .

Xét hàm số $f(x) = 800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2 - 4{x^4}$ , với $x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )$ có.

${f^\prime }(x) = 1600x - 240{x^2}\sqrt 2 - 16{x^3} = 16x\left( {100 - 15x\sqrt 2 - {x^2}} \right).$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )}\\{{f^\prime }(x) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )}\\{16x\left( {100 - 15x\sqrt 2 - {x^2}} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = \dfrac{{5\sqrt {34} - 15\sqrt 2 }}{2}} \right.} \right.$ .

Khi đó $x = \dfrac{{5\sqrt {34} - 15\sqrt 2 }}{2}$ chính là giá trị thỏa mãn bài toán.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.