Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm , cần xả thành một chiếc xà có

Câu hỏi số 720360:

Vận dụng

Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm , cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng \(x\) của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

A. \(x = \dfrac{{3\sqrt {34} - 17\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})\).

B. \(x = \dfrac{{3\sqrt {34} - 19\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})\).

C. \(x = \dfrac{{5\sqrt {34} - 15\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})\).

D. \(x = \dfrac{{5\sqrt {34} - 13\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720360

Giải chi tiết

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và dài của miếng phụ.

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là \(S = {S_{MNPQ}} + 4xy\).

Cạnh hình vuông \(MN = \dfrac{{MP}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{40}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2 (\;{\rm{cm}})\).

\( \Rightarrow S = {(20\sqrt 2 )^2} + 4xy = 800 + 4xy(1)\)

Ta có \(2x = AB - MN = AB - 20\sqrt 2 < BD - 20\sqrt 2 = 40 - 20\sqrt 2 \). \( \Rightarrow 0 < x < 20 - 10\sqrt 2 \).

Lai có \(A{B^2} + A{D^2} = B{D^2} = {40^2} \Rightarrow {(2x + 20\sqrt 2 )^2} + {y^2} = 1600\).

\( \Rightarrow {y^2} = 800 - 80x\sqrt 2 - 4{x^2} \Rightarrow y = \sqrt {800 - 80x\sqrt 2 - 4{x^2}} \)

Thế vào \((1) \Rightarrow S = 800 + 4x\sqrt {800 - 80x\sqrt 2 - 4{x^2}} = 800 + 4\sqrt {800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2 - 4{x^4}} \).

Xét hàm số \(f(x) = 800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2 - 4{x^4}\), với \(x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )\) có.

\({f^\prime }(x) = 1600x - 240{x^2}\sqrt 2 - 16{x^3} = 16x\left( {100 - 15x\sqrt 2 - {x^2}} \right).\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )}\\{{f^\prime }(x) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )}\\{16x\left( {100 - 15x\sqrt 2 - {x^2}} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = \dfrac{{5\sqrt {34} - 15\sqrt 2 }}{2}} \right.} \right.\).

Khi đó \(x = \dfrac{{5\sqrt {34} - 15\sqrt 2 }}{2}\) chính là giá trị thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.