Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm , cần xả thành một chiếc xà có

Câu hỏi số 720360:

Vận dụng

Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm , cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng \(x\) của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

A. \(x = \dfrac{{3\sqrt {34} - 17\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})\).

B. \(x = \dfrac{{3\sqrt {34} - 19\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})\).

C. \(x = \dfrac{{5\sqrt {34} - 15\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})\).

D. \(x = \dfrac{{5\sqrt {34} - 13\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})\).

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:720360

Giải chi tiết

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và dài của miếng phụ.

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là \(S = {S_{MNPQ}} + 4xy\).

Cạnh hình vuông \(MN = \dfrac{{MP}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{40}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2 (\;{\rm{cm}})\).

\( \Rightarrow S = {(20\sqrt 2 )^2} + 4xy = 800 + 4xy(1)\)

Ta có \(2x = AB - MN = AB - 20\sqrt 2 < BD - 20\sqrt 2 = 40 - 20\sqrt 2 \). \( \Rightarrow 0 < x < 20 - 10\sqrt 2 \).

Lai có \(A{B^2} + A{D^2} = B{D^2} = {40^2} \Rightarrow {(2x + 20\sqrt 2 )^2} + {y^2} = 1600\).

\( \Rightarrow {y^2} = 800 - 80x\sqrt 2 - 4{x^2} \Rightarrow y = \sqrt {800 - 80x\sqrt 2 - 4{x^2}} \)

Thế vào \((1) \Rightarrow S = 800 + 4x\sqrt {800 - 80x\sqrt 2 - 4{x^2}} = 800 + 4\sqrt {800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2 - 4{x^4}} \).

Xét hàm số \(f(x) = 800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2 - 4{x^4}\), với \(x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )\) có.

\({f^\prime }(x) = 1600x - 240{x^2}\sqrt 2 - 16{x^3} = 16x\left( {100 - 15x\sqrt 2 - {x^2}} \right).\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )}\\{{f^\prime }(x) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )}\\{16x\left( {100 - 15x\sqrt 2 - {x^2}} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = \dfrac{{5\sqrt {34} - 15\sqrt 2 }}{2}} \right.} \right.\).

Khi đó \(x = \dfrac{{5\sqrt {34} - 15\sqrt 2 }}{2}\) chính là giá trị thỏa mãn bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.