Một người nông dân có 15000000 dồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông

Câu hỏi số 720361:

Vận dụng

Một người nông dân có 15000000 dồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được.

A. \(6250\;{{\rm{m}}^2}\)

B. \(1250\;{{\rm{m}}^2}\)

C. \(3125\;{{\rm{m}}^2}\).

D. \(50\;{{\rm{m}}^2}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:720361

Giải chi tiết

Ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ

Từ đề bài ban đầu ta có được môi quan hệ sau:

Do bác nông dân trả 15000000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt nên ta có mối quan hệ:

\(\begin{array}{l}3x.50000 + 2y.60000 = 15000000\\ \Leftrightarrow 15x + 12y = 1500\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{150 - 15x}}{{12}} = \dfrac{{500 - 5x}}{4}\end{array}\)

Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:

\(f(x) = 2x \cdot y = 2x \cdot \dfrac{{500 - 5x}}{4} = \dfrac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\)

Đến đây ta có hai cách để tìm giá trị lớn nhất của diện tích:

Cách 1: Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và kết luận GTLN:

Xét hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\) trên \((0;100)\)

\({f^\prime }(x) = \dfrac{1}{2}( - 10x + 500),{f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = 50\)

Cách 2: Nhẩm nhanh như sau: Ta biết rằng \(A - {g^2}(x) \le A\) với mọi x , nên ta có thể nhẩm nhanh được:

\(\begin{array}{l}f(x) = \dfrac{5}{2}\left( { - {x^2} + 100x} \right) = \dfrac{5}{2}\left( { - {x^2} + 2 \cdot 50x - 2500 + 2500} \right)\\ = \dfrac{5}{2} \cdot \left[ {2500 - {{(x - 5)}^2}} \right] \le 6250\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.