Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Gọi \(M,N\)lần lượt là các trung điểm

Câu hỏi số 721729:

Vận dụng cao

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Gọi \(M,N\)lần lượt là các trung điểm của các cạnh \(BC,{\rm{ }}AC.\)Gọi \(F\) là giao điểm của \(MN\)và cung nhỏ \(BC\)của đường tròn \((O)\). Giá trị của \(\sin \angle OFN\) bằng

A. \(\dfrac{1}{4}\).

B. \(\dfrac{3}{{11}}\).

C. \(\dfrac{2}{9}\).

D. \(\dfrac{1}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721729

Phương pháp giải

Gọi P là trung điểm của AB, CP cắt MN tại H.

Áp dụng tính chất đường trung bình suy ra \(MN{\rm{//}}BC\), rồi dùng định lý Talet suy ra \(CP = 2CH\)

Áp dụng tính chất trọng tâm rút ra \(CO = \dfrac{2}{3}CP\). Từ đó xét tỉ lệ \(\dfrac{{CH}}{{CO}},\dfrac{{OH}}{{OC}}\)rồi suy ra \(\sin \angle OFN\).

Giải chi tiết

Gọi P là trung điểm của AB, CP cắt MN tại H.

Tam giác ABC có trung tuyến CP, O là trọng tâm nên \(CO = \dfrac{2}{3}CP\) (1)

M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra \(MN{\rm{//}}BC\)(tính chất đường trung bình)

Suy ra \(\dfrac{{CH}}{{CP}} = \dfrac{{CM}}{{CB}} = \dfrac{1}{2}\) (định lý Talet) hay \(CP = 2CH\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(CO = \dfrac{2}{3}.2CH = \dfrac{4}{3}CH\) hay \(\dfrac{{CH}}{{CO}} = \dfrac{3}{4}\) hay \(\dfrac{{OH}}{{OC}} = \dfrac{1}{4}\)

Mặt khác: \(OF = OC = R\)nên \(\sin \angle OFN = \dfrac{{OH}}{{OF}} = \dfrac{{OH}}{{OC}} = \dfrac{1}{4}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.