Cho phương trình \({x^2} - (m + 2)x + m + 1 = 0\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị của \(m\)

Câu hỏi số 721732:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({x^2} - (m + 2)x + m + 1 = 0\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\) ?

A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721732

Phương pháp giải

Áp dụng hệ thức Vi-ét và hệ thức lượng giữa chiều cao và các cạnh góc vuông.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} - (m + 2)x + m + 1 = 0\) (1) có:

\(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right) = {m^2} + 4m + 4 - 4m - 4 = {m^2} > 0\forall m \ne 0\)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}.{x_2} = m + 1\end{array} \right.\)

Vì \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2 > 0\\{x_1}.{x_2} = m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\m > - 1\end{array} \right. \Rightarrow m > - 1\)

Kết hợp điều kiện ta được \(m > - 1;m \ne 0\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có: \(\dfrac{1}{{x_1^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 5\)

\( \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 5{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 5{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\)

Suy ra: \({\left( {m + 2} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right) = 5{\left( {m + 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{3}{2}\,\,(l)\\m = - \dfrac{1}{2}\,\,(tm)\end{array} \right.\)

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link