Cho phương trình \({x^2} - (m + 2)x + m + 1 = 0\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị của \(m\)

Câu hỏi số 721732:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({x^2} - (m + 2)x + m + 1 = 0\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\) ?

A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721732

Phương pháp giải

Áp dụng hệ thức Vi-ét và hệ thức lượng giữa chiều cao và các cạnh góc vuông.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} - (m + 2)x + m + 1 = 0\) (1) có:

\(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right) = {m^2} + 4m + 4 - 4m - 4 = {m^2} > 0\forall m \ne 0\)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}.{x_2} = m + 1\end{array} \right.\)

Vì \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2 > 0\\{x_1}.{x_2} = m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\m > - 1\end{array} \right. \Rightarrow m > - 1\)

Kết hợp điều kiện ta được \(m > - 1;m \ne 0\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có: \(\dfrac{1}{{x_1^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 5\)

\( \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 5{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 5{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\)

Suy ra: \({\left( {m + 2} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right) = 5{\left( {m + 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{3}{2}\,\,(l)\\m = - \dfrac{1}{2}\,\,(tm)\end{array} \right.\)

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.