Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 4m - 8 = 0\)(1), m là tham số.a) Giải phương trình (1)

Câu hỏi số 721759:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 4m - 8 = 0\)(1), m là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 0.\)

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)thỏa mãn điều kiện \(x_1^3 - 4{x_1} = x_2^3 - 4{x_2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721759

Phương pháp giải

a) Thay \(m = 0\) vào phương trình.

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

a) Với \(m = 0\), phương trình (1) trở thành: \({x^2} - 2x - 8 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right) + 2\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m = 0\), phương trình (1) có tập nghiệm là: \(S = \left\{ { - 2;4} \right\}.\)

b) Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4m + 8 = {m^2} + 6m + 9 = {\left( {m + 3} \right)^2}\)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m \ne 3.\)

Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = - 4m - 8\end{array} \right.\) (2)

Ta có:

\(\begin{array}{l}x_1^3 - x_2^3 - 4{x_1} + 4{x_2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 4\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 - 4 = 0\,\,\left( {{\rm{do}}\,{x_1} \ne {x_2}\,} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} - 4 = 0\,\,\,(3)\end{array}\)

Thay (2) vào (3) ta được:

Vậy \(m = - 2\) hoặc \(m = - 1.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.