Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P =

Câu hỏi số 722088:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{a^4}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \dfrac{{{b^4}\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \dfrac{{{c^4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^3} + 2{b^3}}}.\)

Câu trả lời của bạn

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và kết hợp với giả thiết ta có:

\({a^4}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = {a^2}\left( {{a^2}{b^2} + {c^2}{a^2}} \right) \ge {a^2} \cdot 2\sqrt {{a^4} \cdot {b^2}{c^2}} = 2{a^3}\)

Hoàn toàn tương tự ta được \({b^4}\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge 2\;{b^3};{c^4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 2{c^3}\)

Khi đó ta được:

\(\dfrac{{{a^4}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \dfrac{{{b^4}\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \dfrac{{{c^4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^3} + 2{b^3}}} \ge \dfrac{{2{a^3}}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \dfrac{{2{b^3}}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \dfrac{{2{c^3}}}{{{a^3} + 2{b^3}}}\)

Đặt \(M = \dfrac{{2{a^3}}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \dfrac{{2{b^3}}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \dfrac{{2{c^3}}}{{{a^3} + 2{b^3}}}\) và \(\;x = {b^3} + 2{c^3};y = {c^3} + 2{a^3};z = {a^3} + 2\;{b^3}\)

Khi đó ta được \({b^3} = \dfrac{{x - 2y + 4z}}{9};{c^3} = \dfrac{{y - 2z + 4x}}{9};{a^3} = \dfrac{{z - 2x + 4y}}{9}\)

Suy ra \(M = \dfrac{{2\left( {z - 2x + 4y} \right)}}{{9x}} + \dfrac{{2\left( {x - 2y + 4z} \right)}}{{9y}} + \dfrac{{2\left( {y - 2z + 4x} \right)}}{{9z}}\)

\( \Leftrightarrow M = \;\dfrac{2}{9}\left[ {\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z}} \right) + 4\left( {\dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z}} \right) - 6} \right]\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương ta có:

\(\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{z}{x} \cdot \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{z}}} = 3;\dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{z}{y} \cdot \dfrac{x}{z}}} = 3\)

Khi đó ta được \(M = \dfrac{2}{9}\left[ {\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z}} \right) + 4\left( {\dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z}} \right) - 6} \right] \ge \dfrac{2}{9}(3 + 4.3 - 6) = 2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2 khi \(a = b = c = 1\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:722088

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.