Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P =
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a4(b2+c2)b3+2c3+b4(c2+a2)c3+2a3+c4(a2+b2)a3+2b3.
Quảng cáo
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và kết hợp với giả thiết ta có:
a4(b2+c2)=a2(a2b2+c2a2)≥a2⋅2√a4⋅b2c2=2a3
Hoàn toàn tương tự ta được b4(c2+a2)≥2b3;c4(a2+b2)≥2c3
Khi đó ta được:
a4(b2+c2)b3+2c3+b4(c2+a2)c3+2a3+c4(a2+b2)a3+2b3≥2a3b3+2c3+2b3c3+2a3+2c3a3+2b3
Đặt M=2a3b3+2c3+2b3c3+2a3+2c3a3+2b3 và x=b3+2c3;y=c3+2a3;z=a3+2b3
Khi đó ta được b3=x−2y+4z9;c3=y−2z+4x9;a3=z−2x+4y9
Suy ra M=2(z−2x+4y)9x+2(x−2y+4z)9y+2(y−2z+4x)9z
⇔M=29[(zx+xy+yz)+4(yx+zy+xz)−6]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương ta có:
zx+xy+yz≥33√zx⋅xy⋅yz=3;yx+zy+xz≥33√yx⋅zy⋅xz=3
Khi đó ta được M=29[(zx+xy+yz)+4(yx+zy+xz)−6]≥29(3+4.3−6)=2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2 khi a=b=c=1
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
Subiz