Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P =

Câu hỏi số 722088:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{a^4}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \dfrac{{{b^4}\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \dfrac{{{c^4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^3} + 2{b^3}}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722088

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và kết hợp với giả thiết ta có:

\({a^4}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = {a^2}\left( {{a^2}{b^2} + {c^2}{a^2}} \right) \ge {a^2} \cdot 2\sqrt {{a^4} \cdot {b^2}{c^2}} = 2{a^3}\)

Hoàn toàn tương tự ta được \({b^4}\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge 2\;{b^3};{c^4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 2{c^3}\)

Khi đó ta được:

\(\dfrac{{{a^4}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \dfrac{{{b^4}\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \dfrac{{{c^4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^3} + 2{b^3}}} \ge \dfrac{{2{a^3}}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \dfrac{{2{b^3}}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \dfrac{{2{c^3}}}{{{a^3} + 2{b^3}}}\)

Đặt \(M = \dfrac{{2{a^3}}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \dfrac{{2{b^3}}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \dfrac{{2{c^3}}}{{{a^3} + 2{b^3}}}\) và \(\;x = {b^3} + 2{c^3};y = {c^3} + 2{a^3};z = {a^3} + 2\;{b^3}\)

Khi đó ta được \({b^3} = \dfrac{{x - 2y + 4z}}{9};{c^3} = \dfrac{{y - 2z + 4x}}{9};{a^3} = \dfrac{{z - 2x + 4y}}{9}\)

Suy ra \(M = \dfrac{{2\left( {z - 2x + 4y} \right)}}{{9x}} + \dfrac{{2\left( {x - 2y + 4z} \right)}}{{9y}} + \dfrac{{2\left( {y - 2z + 4x} \right)}}{{9z}}\)

\( \Leftrightarrow M = \;\dfrac{2}{9}\left[ {\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z}} \right) + 4\left( {\dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z}} \right) - 6} \right]\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương ta có:

\(\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{z}{x} \cdot \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{z}}} = 3;\dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{z}{y} \cdot \dfrac{x}{z}}} = 3\)

Khi đó ta được \(M = \dfrac{2}{9}\left[ {\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z}} \right) + 4\left( {\dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z}} \right) - 6} \right] \ge \dfrac{2}{9}(3 + 4.3 - 6) = 2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2 khi \(a = b = c = 1\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.