Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P =

Câu hỏi số 722088:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{a^4}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \dfrac{{{b^4}\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \dfrac{{{c^4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^3} + 2{b^3}}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722088

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và kết hợp với giả thiết ta có:

\({a^4}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = {a^2}\left( {{a^2}{b^2} + {c^2}{a^2}} \right) \ge {a^2} \cdot 2\sqrt {{a^4} \cdot {b^2}{c^2}} = 2{a^3}\)

Hoàn toàn tương tự ta được \({b^4}\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge 2\;{b^3};{c^4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 2{c^3}\)

Khi đó ta được:

\(\dfrac{{{a^4}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \dfrac{{{b^4}\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \dfrac{{{c^4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^3} + 2{b^3}}} \ge \dfrac{{2{a^3}}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \dfrac{{2{b^3}}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \dfrac{{2{c^3}}}{{{a^3} + 2{b^3}}}\)

Đặt \(M = \dfrac{{2{a^3}}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \dfrac{{2{b^3}}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \dfrac{{2{c^3}}}{{{a^3} + 2{b^3}}}\) và \(\;x = {b^3} + 2{c^3};y = {c^3} + 2{a^3};z = {a^3} + 2\;{b^3}\)

Khi đó ta được \({b^3} = \dfrac{{x - 2y + 4z}}{9};{c^3} = \dfrac{{y - 2z + 4x}}{9};{a^3} = \dfrac{{z - 2x + 4y}}{9}\)

Suy ra \(M = \dfrac{{2\left( {z - 2x + 4y} \right)}}{{9x}} + \dfrac{{2\left( {x - 2y + 4z} \right)}}{{9y}} + \dfrac{{2\left( {y - 2z + 4x} \right)}}{{9z}}\)

\( \Leftrightarrow M = \;\dfrac{2}{9}\left[ {\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z}} \right) + 4\left( {\dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z}} \right) - 6} \right]\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương ta có:

\(\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{z}{x} \cdot \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{z}}} = 3;\dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{z}{y} \cdot \dfrac{x}{z}}} = 3\)

Khi đó ta được \(M = \dfrac{2}{9}\left[ {\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z}} \right) + 4\left( {\dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z}} \right) - 6} \right] \ge \dfrac{2}{9}(3 + 4.3 - 6) = 2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2 khi \(a = b = c = 1\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link