Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Đường tròn (O) tiếp xúc với AB
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại E, tiếp xúc với AC tại F. Điểm H di động trên cung nhỏ EF của đường tròn (O); tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H cắt AB, AC lần lượt tại I, K.
1) Chứng minh AEOF là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh \(\angle IOK = \angle ABC\) và hai tam giác OIB, KOC đồng dạng.
3) Giả sử \(AB = 5\;{\rm{cm}},BC = 6\;{\rm{cm}}\). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AIK.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
1) Do (O) tiếp xúc với AB, AC tại E,F nên AB, AC là tiếp tuyến
\( \Rightarrow \angle AEO = \angle AFO = {90^0}\)
Xét tứ giác AEOF có \(\angle AEO + \angle AFO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AEOF nội tiếp (dhnb)
2) Ta có \(\angle IOE = \angle IOH = \dfrac{1}{2}\angle EOH\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(\angle HOK = \angle KOF = \dfrac{1}{2}\angle HOF\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \angle IOK = \angle IOH + \angle HOK = \dfrac{1}{2}(\angle EOH + \angle HOF) = \dfrac{1}{2}EOF\) (1)
Ta có OB = OC (gt), \(\angle B = \angle C\) (\(\Delta ABC\) cân), \(\angle BEO = \angle CFO = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta OBE = \Delta OCF\)(cạnh huyền – góc nhọn)
\( \Rightarrow \angle BOE = \angle COF\)
\(\angle ABC = {90^0} - \angle BOE = \dfrac{1}{2}\left( {{{180}^0} - 2\angle BOE} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{{180}^0} - \angle BOE - \angle COF} \right) = \dfrac{1}{2}\angle EOF\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle IOK = \angle ABC\)
Ta có \(\left. \begin{array}{l}\angle IOK = \angle ABC = \angle ACB\\\angle IOK + \angle IOB + \angle KOC = {180^0}\\\angle ACB + \angle CKO + \angle KOC = {180^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \angle IOB = \angle CKO\)
Kết hợp \(\angle OBI = \angle OCK \Rightarrow \Delta OBI\)~\(\Delta KCO\left( {g.g} \right)\)
3) Do \(\Delta ABC\) cân nên \(OA \bot BC\)
Xét tam giác vuông ABO có: \(A{B^2} = A{O^2} + B{O^2} \Rightarrow AO = \sqrt {{5^2} - {{\left( {\dfrac{6}{2}} \right)}^2}} = 4\,\,(cm)\)
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta AOB\) ta có:
+) \(O{B^2} = BE.AB \Rightarrow BE = \dfrac{9}{5}cm\)
+) \(OE.AB = BO.AO \Rightarrow OE = \dfrac{{3.4}}{5} = 2,4\,\,(cm)\)
Ta có \(\Delta OBI\)~\(\Delta KCO \Rightarrow \dfrac{{OB}}{{KC}} = \dfrac{{BI}}{{OC}} \Rightarrow KC.BI = OB.OC\) không đổi
\({S_{\Delta AIK}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{BIKC}} \Rightarrow {S_{\Delta AIK}}\) lớn nhất khi \({S_{BIKC}}\) nhỏ nhất
Ta có \({S_{BIKC}} = {S_{BOI}} + {S_{IOK}} + {S_{KOC}} = \dfrac{1}{2}\left( {OE.BI + OH.IK + OF.KC} \right) = \dfrac{1}{2}R\left( {BI + IK + KC} \right)\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{2}R\left( {BI + IH + HK + CK} \right)\\ = \dfrac{1}{2}R\left( {BI + CK + IE + KF} \right)\\ = \dfrac{1}{2}R\left( {2BI + 2CK - BE - CF} \right)\\ = R\left( {BI + CK - BE} \right)\\ \le R.\left( {2\sqrt {BI.CK} - BE} \right) = R\left( {2R - \dfrac{9}{5}} \right) = \dfrac{{36}}{5}c{m^2}\end{array}\)
Dấu “=” có khi \(BI = CK \Rightarrow AI = AK\)\( \Rightarrow \Delta AIK\) cân hay H là điểm chính giữa cung EF
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
