Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Đường tròn (O) tiếp xúc với AB

Câu hỏi số 722087:

Vận dụng

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại E, tiếp xúc với AC tại F. Điểm H di động trên cung nhỏ EF của đường tròn (O); tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H cắt AB, AC lần lượt tại I, K.

1) Chứng minh AEOF là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh $\angle IOK = \angle ABC$ và hai tam giác OIB, KOC đồng dạng.

3) Giả sử $AB = 5\;{\rm{cm}},BC = 6\;{\rm{cm}}$ . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AIK.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722087

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

1) Do (O) tiếp xúc với AB, AC tại E,F nên AB, AC là tiếp tuyến

$\Rightarrow \angle AEO = \angle AFO = {90^0}$

Xét tứ giác AEOF có $\angle AEO + \angle AFO = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AEOF nội tiếp (dhnb)

2) Ta có $\angle IOE = \angle IOH = \dfrac{1}{2}\angle EOH$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\angle HOK = \angle KOF = \dfrac{1}{2}\angle HOF$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \angle IOK = \angle IOH + \angle HOK = \dfrac{1}{2}(\angle EOH + \angle HOF) = \dfrac{1}{2}EOF$ (1)

Ta có OB = OC (gt), $\angle B = \angle C$ ( $\Delta ABC$ cân), $\angle BEO = \angle CFO = {90^0}$

$\Rightarrow \Delta OBE = \Delta OCF$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow \angle BOE = \angle COF$

$\angle ABC = {90^0} - \angle BOE = \dfrac{1}{2}\left( {{{180}^0} - 2\angle BOE} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{{180}^0} - \angle BOE - \angle COF} \right) = \dfrac{1}{2}\angle EOF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\angle IOK = \angle ABC$

Ta có $\left. \begin{array}{l}\angle IOK = \angle ABC = \angle ACB\\\angle IOK + \angle IOB + \angle KOC = {180^0}\\\angle ACB + \angle CKO + \angle KOC = {180^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \angle IOB = \angle CKO$

Kết hợp $\angle OBI = \angle OCK \Rightarrow \Delta OBI$ ~ $\Delta KCO\left( {g.g} \right)$

3) Do $\Delta ABC$ cân nên $OA \bot BC$

Xét tam giác vuông ABO có: $A{B^2} = A{O^2} + B{O^2} \Rightarrow AO = \sqrt {{5^2} - {{\left( {\dfrac{6}{2}} \right)}^2}} = 4\,\,(cm)$

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta AOB$ ta có:

+) $O{B^2} = BE.AB \Rightarrow BE = \dfrac{9}{5}cm$

+) $OE.AB = BO.AO \Rightarrow OE = \dfrac{{3.4}}{5} = 2,4\,\,(cm)$

Ta có $\Delta OBI$ ~ $\Delta KCO \Rightarrow \dfrac{{OB}}{{KC}} = \dfrac{{BI}}{{OC}} \Rightarrow KC.BI = OB.OC$ không đổi

${S_{\Delta AIK}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{BIKC}} \Rightarrow {S_{\Delta AIK}}$ lớn nhất khi ${S_{BIKC}}$ nhỏ nhất

Ta có ${S_{BIKC}} = {S_{BOI}} + {S_{IOK}} + {S_{KOC}} = \dfrac{1}{2}\left( {OE.BI + OH.IK + OF.KC} \right) = \dfrac{1}{2}R\left( {BI + IK + KC} \right)$

$\begin{array}{l} = \dfrac{1}{2}R\left( {BI + IH + HK + CK} \right)\\ = \dfrac{1}{2}R\left( {BI + CK + IE + KF} \right)\\ = \dfrac{1}{2}R\left( {2BI + 2CK - BE - CF} \right)\\ = R\left( {BI + CK - BE} \right)\\ \le R.\left( {2\sqrt {BI.CK} - BE} \right) = R\left( {2R - \dfrac{9}{5}} \right) = \dfrac{{36}}{5}c{m^2}\end{array}$

Dấu “=” có khi $BI = CK \Rightarrow AI = AK$ $\Rightarrow \Delta AIK$ cân hay H là điểm chính giữa cung EF

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.