1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{3\sqrt {3x + 1}

Câu hỏi số 722114:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{3\sqrt {3x + 1} - y = 5}\end{array}} \right.\).

2) Trong mặt phẳng toa độ \(Oxy\)cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = (m - 2)x + 5\).

a) Chứng minh \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hoành độ các giao điểm của \((d)\) và \((P)\). Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \({x_1} + 5{x_2} = 0.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722114

Phương pháp giải

1) Đặt điều kiện và giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

2) Xét \(\Delta \) và áp dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

1) ĐK: \(x \ge - \dfrac{1}{3}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{3\sqrt {3x + 1} - y = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{6\sqrt {3x + 1} - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{7\sqrt {3x + 1} = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y = 4 - \sqrt {3x + 1} }\\{\sqrt {3x + 1} = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y = 2}\\{\sqrt {3x + 1} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}\\{3x + 1 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}\\{3x = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1\,\,(tm)}\\{y = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\).

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta được:

\({x^2} = (m - 2)x + 5 \Leftrightarrow {x^2} - (m - 2)x - 5 = 0\) (1)

Ta có: \(\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4.\left( { - 5} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} + 20 > 0\) với mọi \(m\)

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Hay \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\,\,\,\,(2)\,\,\\{x_1}.{x_2} = - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.\)

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\\{x_1} + 5{x_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x_2} = 2 - m\\{x_1} = - 5{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{{2 - m}}{4}\\{x_1} = \dfrac{{5\left( {m - 2} \right)}}{4}\end{array} \right.\)

Thay vào (3) ta được: \(\dfrac{{2 - m}}{4}.\dfrac{{5\left( {m - 2} \right)}}{4} = - 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{\left( {m - 2} \right)^2} = 5.16\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 4\\m - 2 = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 6\) hoặc \(m = - 2\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.