1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{3\sqrt {3x + 1}

Câu hỏi số 722114:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{3\sqrt {3x + 1} - y = 5}\end{array}} \right.\).

2) Trong mặt phẳng toa độ \(Oxy\)cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = (m - 2)x + 5\).

a) Chứng minh \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hoành độ các giao điểm của \((d)\) và \((P)\). Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \({x_1} + 5{x_2} = 0.\)

Câu trả lời của bạn

Phương pháp giải

1) Đặt điều kiện và giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

2) Xét \(\Delta \) và áp dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

1) ĐK: \(x \ge - \dfrac{1}{3}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{3\sqrt {3x + 1} - y = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{6\sqrt {3x + 1} - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{7\sqrt {3x + 1} = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y = 4 - \sqrt {3x + 1} }\\{\sqrt {3x + 1} = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y = 2}\\{\sqrt {3x + 1} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}\\{3x + 1 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}\\{3x = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1\,\,(tm)}\\{y = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\).

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta được:

\({x^2} = (m - 2)x + 5 \Leftrightarrow {x^2} - (m - 2)x - 5 = 0\) (1)

Ta có: \(\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4.\left( { - 5} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} + 20 > 0\) với mọi \(m\)

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Hay \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\,\,\,\,(2)\,\,\\{x_1}.{x_2} = - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.\)

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\\{x_1} + 5{x_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x_2} = 2 - m\\{x_1} = - 5{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{{2 - m}}{4}\\{x_1} = \dfrac{{5\left( {m - 2} \right)}}{4}\end{array} \right.\)

Thay vào (3) ta được: \(\dfrac{{2 - m}}{4}.\dfrac{{5\left( {m - 2} \right)}}{4} = - 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{\left( {m - 2} \right)^2} = 5.16\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 4\\m - 2 = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 6\) hoặc \(m = - 2\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:722114

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.