1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{3\sqrt {3x + 1}

Câu hỏi số 722114:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{3\sqrt {3x + 1} - y = 5}\end{array}} \right.\).

2) Trong mặt phẳng toa độ \(Oxy\)cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = (m - 2)x + 5\).

a) Chứng minh \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hoành độ các giao điểm của \((d)\) và \((P)\). Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \({x_1} + 5{x_2} = 0.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722114

Phương pháp giải

1) Đặt điều kiện và giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

2) Xét \(\Delta \) và áp dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

1) ĐK: \(x \ge - \dfrac{1}{3}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{3\sqrt {3x + 1} - y = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{6\sqrt {3x + 1} - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{7\sqrt {3x + 1} = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y = 4 - \sqrt {3x + 1} }\\{\sqrt {3x + 1} = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y = 2}\\{\sqrt {3x + 1} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}\\{3x + 1 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}\\{3x = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1\,\,(tm)}\\{y = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\).

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta được:

\({x^2} = (m - 2)x + 5 \Leftrightarrow {x^2} - (m - 2)x - 5 = 0\) (1)

Ta có: \(\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4.\left( { - 5} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} + 20 > 0\) với mọi \(m\)

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Hay \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\,\,\,\,(2)\,\,\\{x_1}.{x_2} = - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.\)

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\\{x_1} + 5{x_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x_2} = 2 - m\\{x_1} = - 5{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{{2 - m}}{4}\\{x_1} = \dfrac{{5\left( {m - 2} \right)}}{4}\end{array} \right.\)

Thay vào (3) ta được: \(\dfrac{{2 - m}}{4}.\dfrac{{5\left( {m - 2} \right)}}{4} = - 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{\left( {m - 2} \right)^2} = 5.16\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 4\\m - 2 = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 6\) hoặc \(m = - 2\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link