Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B, C

Câu hỏi số 722115:

Vận dụng

Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B, C là hai tiếp điểm).

1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

2) Vẽ đường kính BD của đường tròn (O). Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD và đường tròn (O). Đường thẳng BC và đường thẳng AO cắt nhau tại H. Chứng minh $A{B^2} = AE.AD = AH.AO$ và $\angle HDO = \angle HBE$ .

3) Lấy điểm M thuộc tia đối của tia CB. Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng AB. Chứng minh đường thẳng BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722115

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

Do AB, AC là tiếp tuyến nên $\angle OBA = \angle OCA = {90^0}$

Xét tứ giác OBAC có $\angle OBA + \angle OCA = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OBAC nội tiếp (dhnb)

2) Chứng minh $A{B^2} = AE.AD = AH.AO$ và $\angle HDO = \angle HBE$ .

Ta có $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), $OB = OC = R$

$\Rightarrow OA$ là trung trực của BC

$\Rightarrow OA \bot BC$ tại H là trung điểm của BC

$\Rightarrow \Delta OAB$ vuông tại B đường cao BH

$\Rightarrow A{B^2} = AH.AO$ (hệ thức lượng) (1)

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADB$ có

$\angle BAD$ chung

$\angle ABE = \angle ADB$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung EB)

$\Rightarrow \Delta ABE$ ~ $\Delta ADB\left( {g.g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{{AE}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AD.AE \left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $A{B^2} = AE.AD = AH.AO$

Ta có $\angle AHB = \angle AEB = {90^0} \Rightarrow ABHE$ nội tiếp (dhnb)

$\Rightarrow \angle CBE = \angle EAH$

Ta có $O{B^2} = OH.OA$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow O{D^2} = OH.OA \Rightarrow \dfrac{{OD}}{{OA}} = \dfrac{{OH}}{{OD}}$

Xét $\Delta OHD$ và $\Delta ODA$ có $\dfrac{{OD}}{{OA}} = \dfrac{{OH}}{{OD}}$ và $\angle AOD$ chung

$\Rightarrow \Delta OHD$ ~ $\Delta ODA\left( {c.g.c} \right)$

$\Rightarrow \angle ODH = \angle OAD$

$\Rightarrow \angle ODH = \angle CBE$

3) Chứng minh đường thẳng BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

Gọi K là trung điểm của BM, gọi F là giao điểm của BE và MN

Ta có $\Delta BNM$ ~ $\Delta BHA\left( {g.g} \right)\left( {\angle BNM = \angle BHA = {{90}^0},\angle ABM\,\,chung} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{BN}}{{BH}} = \dfrac{{BM}}{{BA}} \Rightarrow BA.BN = BM.BH = 2BK.\dfrac{1}{2}BC = BK.BC$ (3)

Ta có $\angle ANF = \angle AEF = {90^0} \Rightarrow ANEF$ nội tiếp (dhnb)

$\Rightarrow \Delta BNE$ ~ $\Delta BFA\left( {g.g} \right) \Rightarrow BN.BA = BE.BF$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $BE.BF = BK.BC \Rightarrow \Delta BEK$ ~ $\Delta BCF\left( {c.g.c} \right)$

$\Rightarrow \angle BEK = \angle BCF$

$\Rightarrow EFCK$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle KFE = \angle KCE = \angle ABF$

$\Rightarrow KF\parallel AB$ (2 góc so le trong bằng nhau)

Mà K là trung điểm của BM

$\Rightarrow F$ là trung điểm của MN (tính chất đường trung bình)

Vậy đường thẳng BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.