Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Với các số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(x + y + xy = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của
Với các số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(x + y + xy = 3\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P = \dfrac{3}{{x + y}} - xy{\rm{.\;}}\)
Ta có \(xy \le \dfrac{{{{(x + y)}^2}}}{4}\quad \forall x,y \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \quad x + y + xy \le x + y + \dfrac{{{{(x + y)}^2}}}{4}\)
\( \Rightarrow \quad 3 \le x + y + \dfrac{{{{(x + y)}^2}}}{4}\)
\( \Rightarrow \quad x + y \ge 2\)
Ta có: \(P = \dfrac{3}{{x + y}} - xy = \dfrac{3}{{x + y}} - (3 - x - y) = \dfrac{3}{{x + y}} + x + y - 3\)
\( = \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{{x + y}}{4} + \dfrac{{x + y}}{4} + \dfrac{{x + y}}{4} + \dfrac{{x + y}}{4} - 3\)
\( \ge 6\sqrt[6]{{\dfrac{1}{{{{(x + y)}^3}}}.\dfrac{{{{(x + y)}^3}}}{{64}}}} + \dfrac{{x + y}}{4} - 3\)
\( \ge 3 + \dfrac{2}{4} - 3 = \dfrac{1}{2}\)
Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y > 0\\{\left( {x + y} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\) (tmđk)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \(\dfrac{1}{2}\) khi \(x = y = 1\)
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
