Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Cho các số thực x,y,z≥0x,y,z≥0 thỏa mãn x+y+z>0x+y+z>0.Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{3} \le

Câu hỏi số 722121:
Vận dụng cao

Cho các số thực x,y,z≥0x,y,z≥0 thỏa mãn x+y+z>0x+y+z>0.

Chứng minh rằng: 13≤x23x2+(y+z)2+y23y2+(z+x)2+z23z2+(x+y)2≤1213≤x23x2+(y+z)2+y23y2+(z+x)2+z23z2+(x+y)2≤12.

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:722121
Phương pháp giải

Phân tích 3x2+(y+z)2=2x2+x2+(y+z)2≥2x2+2x(y+z)=2x(x+y+z)3x2+(y+z)2=2x2+x2+(y+z)2≥2x2+2x(y+z)=2x(x+y+z)

Tương tự 3y2+(z+x)2≥2y(x+y+z)3y2+(z+x)2≥2y(x+y+z)

              3z2+(x+y)2≥2z(x+y+z)3z2+(x+y)2≥2z(x+y+z)

Giải chi tiết

Ta có 3x2+(y+z)2=2x2+x2+(y+z)2≥2x2+2x(y+z)=2x(x+y+z)3x2+(y+z)2=2x2+x2+(y+z)2≥2x2+2x(y+z)=2x(x+y+z)

Tương tự 3y2+(z+x)2≥2y(x+y+z)3y2+(z+x)2≥2y(x+y+z)

              3z2+(x+y)2≥2z(x+y+z)3z2+(x+y)2≥2z(x+y+z)

⇒P=x23x2+(y+z)2+y23y2+(z+x)2+z23z2+(x+y)2≥x22x(x+y+z)+y22y(x+y+z)+z22z(x+y+z)=x+y+z2(x+y+z)=12

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z

Ta có 3x2+(y+z)2≤3x2+2(y2+z2)

⇒x23x2+(y+z)2≥x23x2+2(y2+z2)=x43x4+2x2(y2+z2)

Tương tự y23y2+(z+x)2≥y43y4+2y2(z2+x2);z23z2+(x+y)2≥z43z4+2z2(x2+y2)

⇒P≥(x2+y2+z2)23(x4+y4+z4)+4(x4y2+y2z2+z2x2)

Ta đi chứng minh (x2+y2+z2)23(x9+y4+z4)+4(x2y2+y2z2+t2x2)≥13

Dấu “=” có khi hai trong 3 số x , y, z bằng 0 chẳng hạn x=y=0

Vậy 13≤x23x2+(y+z)2+y23y2+(z+x)2+z23z2+(x+y)2≤12

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn
@!-/#Chào mỪng1
@!-/#Chào mỪng1
agent avatar left
Tuyensinh247.com - 18006947
Luôn sẵn sàng hỗ trợ!
Tuyensinh247.com - 18006947
Tuyensinh247.com - 18006947
agent avatar left
Luôn sẵn sàng hỗ trợ!
Em để lại tên và SĐT nhé! Tuyensinh247.com sẽ hỗ trợ tốt nhất cho em!
Subiz