Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A ké hai tiếp tuyến AB và AC với

Câu hỏi số 722120:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A ké hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) (với B, C là hai tiếp điểm ). Kẻ đường kính B D của đường tròn (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm E ( E khác D ). Gọi H là giao điểm của hai đoạn thẳng OA và BC, M là trung điểm của đoạn thẳng ED.

a) Chứng minh ABOM là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $A{C^2} = AE.AD$ .

c) Chứng minh $\Delta CEH$ vuông và đường thẳng CE đi qua trung điểm của đoạn thẳng AH.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722120

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Do AB, AC là tiếp tuyến nên $\angle OCA = \angle OBA = {90^0}$

Xét tứ giác ABOM có $\angle OCA + \angle OBA = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ABOM nội tiếp (dhnb)

b) Xét $\Delta ACE$ và $\Delta ADC$ có $\angle CAD$ chung

$\angle ACE = \angle ADC$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CE)

$\Rightarrow \Delta ACE$ ~ $\Delta ADC\left( {g.g} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\\ \Rightarrow A{C^2} = AE.AD\end{array}$

c) Ta có $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), $OB = OC = R$

$\Rightarrow OA$ là trung trực của BC

$\Rightarrow OA \bot BC$ tại H là trung điểm của BC

$\Rightarrow \Delta AOC$ vuông tại C, đường cao CH có $A{C^2} = AH.AO$ (hệ thức lượng)

Mà $A{C^2} = AE.AD$ nên $AH.AO = AE.AD \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AO}}$

$\Rightarrow \Delta AHE$ ~ $\Delta ADO\left( {c.g.c} \right)$

$\Rightarrow \angle AHE = \angle ADO$

$\Rightarrow HEOD$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle HED = \angle AOB$ (tính chất góc ngoài của đỉnh đối diện)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle HEC = \angle HED + \angle DEC\\ = \angle AOB + \angle DEC\\ = \dfrac{1}{2}sdcungAB + \dfrac{1}{2}sdcungCD = \dfrac{1}{2}sdcungBD = \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}\end{array}$

$\Rightarrow \;$ $\Delta CEH$ vuông

Gọi F là giao điểm của CE và AO

Xét $\Delta HCF$ vuông tại H, đường cao HE nên $H{F^2} = FE.FC$ (1)

Ta có $\angle AEF = \angle CED = \angle CBD = \angle CAO$

Kết hợp với $\angle AFC$ chung suy ra $\Delta FAE$ ~ $\Delta FCA\left( {g.g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{FA}}{{FC}} = \dfrac{{FE}}{{FA}} \Rightarrow F{A^2} = FE.EC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $H{F^2} = H{A^2} \Rightarrow HF = FA \Rightarrow F$ là trung điểm của HA.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.