Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A ké hai tiếp tuyến AB và AC với
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A ké hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) (với B, C là hai tiếp điểm ). Kẻ đường kính B D của đường tròn (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm E ( E khác D ). Gọi H là giao điểm của hai đoạn thẳng OA và BC, M là trung điểm của đoạn thẳng ED.
a) Chứng minh ABOM là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(A{C^2} = AE.AD\).
c) Chứng minh \(\Delta CEH\) vuông và đường thẳng CE đi qua trung điểm của đoạn thẳng AH.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do AB, AC là tiếp tuyến nên \(\angle OCA = \angle OBA = {90^0}\)
Xét tứ giác ABOM có \(\angle OCA + \angle OBA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ABOM nội tiếp (dhnb)
b) Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ADC\) có \(\angle CAD\) chung
\(\angle ACE = \angle ADC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CE)
\( \Rightarrow \Delta ACE\)~\(\Delta ADC\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\\ \Rightarrow A{C^2} = AE.AD\end{array}\)
c) Ta có \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow OA\) là trung trực của BC
\( \Rightarrow OA \bot BC\) tại H là trung điểm của BC
\( \Rightarrow \Delta AOC\) vuông tại C, đường cao CH có \(A{C^2} = AH.AO\) (hệ thức lượng)
Mà \(A{C^2} = AE.AD\) nên \(AH.AO = AE.AD \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AO}}\)
\( \Rightarrow \Delta AHE\)~\(\Delta ADO\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle AHE = \angle ADO\)
\( \Rightarrow HEOD\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle HED = \angle AOB\) (tính chất góc ngoài của đỉnh đối diện)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle HEC = \angle HED + \angle DEC\\ = \angle AOB + \angle DEC\\ = \dfrac{1}{2}sdcungAB + \dfrac{1}{2}sdcungCD = \dfrac{1}{2}sdcungBD = \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow \;\)\(\Delta CEH\) vuông
Gọi F là giao điểm của CE và AO
Xét \(\Delta HCF\) vuông tại H, đường cao HE nên \(H{F^2} = FE.FC\) (1)
Ta có \(\angle AEF = \angle CED = \angle CBD = \angle CAO\)
Kết hợp với \(\angle AFC\) chung suy ra \(\Delta FAE\)~\(\Delta FCA\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{FA}}{{FC}} = \dfrac{{FE}}{{FA}} \Rightarrow F{A^2} = FE.EC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(H{F^2} = H{A^2} \Rightarrow HF = FA \Rightarrow F\) là trung điểm của HA.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
