Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A ké hai tiếp tuyến AB và AC với

Câu hỏi số 722120:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A ké hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) (với B, C là hai tiếp điểm ). Kẻ đường kính B D của đường tròn (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm E ( E khác D ). Gọi H là giao điểm của hai đoạn thẳng OA và BC, M là trung điểm của đoạn thẳng ED.

a) Chứng minh ABOM là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(A{C^2} = AE.AD\).

c) Chứng minh \(\Delta CEH\) vuông và đường thẳng CE đi qua trung điểm của đoạn thẳng AH.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722120

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Do AB, AC là tiếp tuyến nên \(\angle OCA = \angle OBA = {90^0}\)

Xét tứ giác ABOM có \(\angle OCA + \angle OBA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ABOM nội tiếp (dhnb)

b) Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ADC\) có \(\angle CAD\) chung

\(\angle ACE = \angle ADC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CE)

\( \Rightarrow \Delta ACE\)~\(\Delta ADC\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\\ \Rightarrow A{C^2} = AE.AD\end{array}\)

c) Ta có \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OB = OC = R\)

\( \Rightarrow OA\) là trung trực của BC

\( \Rightarrow OA \bot BC\) tại H là trung điểm của BC

\( \Rightarrow \Delta AOC\) vuông tại C, đường cao CH có \(A{C^2} = AH.AO\) (hệ thức lượng)

Mà \(A{C^2} = AE.AD\) nên \(AH.AO = AE.AD \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AO}}\)

\( \Rightarrow \Delta AHE\)~\(\Delta ADO\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle AHE = \angle ADO\)

\( \Rightarrow HEOD\) nội tiếp

\( \Rightarrow \angle HED = \angle AOB\) (tính chất góc ngoài của đỉnh đối diện)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle HEC = \angle HED + \angle DEC\\ = \angle AOB + \angle DEC\\ = \dfrac{1}{2}sdcungAB + \dfrac{1}{2}sdcungCD = \dfrac{1}{2}sdcungBD = \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \;\)\(\Delta CEH\) vuông

Gọi F là giao điểm của CE và AO

Xét \(\Delta HCF\) vuông tại H, đường cao HE nên \(H{F^2} = FE.FC\) (1)

Ta có \(\angle AEF = \angle CED = \angle CBD = \angle CAO\)

Kết hợp với \(\angle AFC\) chung suy ra \(\Delta FAE\)~\(\Delta FCA\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{FA}}{{FC}} = \dfrac{{FE}}{{FA}} \Rightarrow F{A^2} = FE.EC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(H{F^2} = H{A^2} \Rightarrow HF = FA \Rightarrow F\) là trung điểm của HA.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.