Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C (điều kiện điểm C
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C (điều kiện điểm C không trùng điểm A, điểm B và điểm chính giữa của cung AB). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại D.
a) Chứng minh tứ giác OADC là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng OD và AC, H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, F là giao điểm của hai đường thẳng CD và AB. Chứng minh: \(OD \bot AC\) và \(OE.OD = OH.OF\)
c) Gọi M là giao điềm của hai đường thẳng BD và CH, T là hình chiếu vuông góc của O trên BC. Chứng minh ba điểm E, M, T thẳng hàng.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do DA, DC là tiếp tuyến nên \(\angle DAO = \angle DCO = {90^0}\)
Xét tứ giác OADC có \(\angle DAO + \angle DCO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OADC nội tiếp (dhnb)
b) Ta có \(DA = DC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OA = OC = R\)
\( \Rightarrow OD\) là trung trực của AC
\( \Rightarrow OD \bot AC\) tại E là trung điểm của AC
\( \Rightarrow \Delta OCD\) vuông tại C, đường cao CE có \(O{C^2} = OE.OD\) (hệ thức lượng)
\(\Delta OCF\) vuông tại C, đường cao CH nên \(O{C^2} = OH.OF\)
\( \Rightarrow OE.OD = OH.OF\)
c) Gọi N là giao điểm của AC và BD
Ta có \(\angle FCB = \angle CAB = \dfrac{1}{2}sdcungBC\)
\(\angle CAB = \angle HCB\) (cùng phụ với \(\angle HCA\))
\( \Rightarrow \angle FCB = \angle HCB \Rightarrow BC\) là phân giác trong của góc FCH
Mà \(BC \bot AC \Rightarrow CA\) là phân giác ngoài của góc FCH
Suy ra CN và CB lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của DCM
\( \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{CD}} = \dfrac{{NM}}{{ND}} = \dfrac{{BM}}{{BD}}\)
Mà \(\dfrac{{NM}}{{ND}} = \dfrac{{CM}}{{AD}}\) và \(\dfrac{{BM}}{{BD}} = \dfrac{{MH}}{{AD}}\) (talet)
\( \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{AD}} = \dfrac{{MH}}{{AD}} \Rightarrow CM = HM \Rightarrow M\) là trung điểm của CH
Mà E, T lần lượt là trung điểm của AC, BC
\( \Rightarrow ME\parallel AH,MT\parallel HB\) (đường trung bình)
\( \Rightarrow E,M,T\) thẳng hàng
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
