Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C (điều kiện điểm C

Câu hỏi số 722158:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C (điều kiện điểm C không trùng điểm A, điểm B và điểm chính giữa của cung AB). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại D.

a) Chứng minh tứ giác OADC là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng OD và AC, H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, F là giao điểm của hai đường thẳng CD và AB. Chứng minh: $OD \bot AC$ và $OE.OD = OH.OF$

c) Gọi M là giao điềm của hai đường thẳng BD và CH, T là hình chiếu vuông góc của O trên BC. Chứng minh ba điểm E, M, T thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722158

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Do DA, DC là tiếp tuyến nên $\angle DAO = \angle DCO = {90^0}$

Xét tứ giác OADC có $\angle DAO + \angle DCO = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OADC nội tiếp (dhnb)

b) Ta có $DA = DC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), $OA = OC = R$

$\Rightarrow OD$ là trung trực của AC

$\Rightarrow OD \bot AC$ tại E là trung điểm của AC

$\Rightarrow \Delta OCD$ vuông tại C, đường cao CE có $O{C^2} = OE.OD$ (hệ thức lượng)

$\Delta OCF$ vuông tại C, đường cao CH nên $O{C^2} = OH.OF$

$\Rightarrow OE.OD = OH.OF$

c) Gọi N là giao điểm của AC và BD

Ta có $\angle FCB = \angle CAB = \dfrac{1}{2}sdcungBC$

$\angle CAB = \angle HCB$ (cùng phụ với $\angle HCA$ )

$\Rightarrow \angle FCB = \angle HCB \Rightarrow BC$ là phân giác trong của góc FCH

Mà $BC \bot AC \Rightarrow CA$ là phân giác ngoài của góc FCH

Suy ra CN và CB lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của DCM

$\Rightarrow \dfrac{{CM}}{{CD}} = \dfrac{{NM}}{{ND}} = \dfrac{{BM}}{{BD}}$

Mà $\dfrac{{NM}}{{ND}} = \dfrac{{CM}}{{AD}}$ và $\dfrac{{BM}}{{BD}} = \dfrac{{MH}}{{AD}}$ (talet)

$\Rightarrow \dfrac{{CM}}{{AD}} = \dfrac{{MH}}{{AD}} \Rightarrow CM = HM \Rightarrow M$ là trung điểm của CH

Mà E, T lần lượt là trung điểm của AC, BC

$\Rightarrow ME\parallel AH,MT\parallel HB$ (đường trung bình)

$\Rightarrow E,M,T$ thẳng hàng

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.