Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến PMN không đi qua tâm O (PM < PN) và hai

Câu hỏi số 722201:

Vận dụng

Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến PMN không đi qua tâm O (PM < PN) và hai tiếp tuyến PA, PB (A, B là các tiếp điểm ). Gọi I là trung điểm của MN. Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB, đường thẳng d cắt tia PA tại điểm C.

1) Chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp.

2) Chứng minh $PI.PN = PA.PC$

3) Gọi D là trung điểm của AN. Chứng minh ba điểm C, D, I thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722201

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

1) Do PA, PB là tiếp tuyến nên $\angle OAP = \angle OBP = {90^0}$

Xét tứ giác PAOB có $\angle OAP + \angle OBP = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác PAOB nội tiếp (dhnb)

2) Do I là trung điểm của MN nên $OI \bot MN \Rightarrow \angle OIP = {90^0}$

$\Rightarrow \angle OIP + \angle OAP = {90^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OIPA nội tiếp (dhnb)

$\Rightarrow \angle AIP = \angle AOP = \angle BAP$

Mà $\angle BAP = \angle NCP$ (đồng vị)

$\Rightarrow \angle AIP = \angle NCP \Rightarrow NIAC$ nội tiếp

Xét $\Delta PIA$ và $\Delta PCN$ có $\angle AIP = \angle NCP$ và $\angle NPC$ chung

$\Rightarrow \Delta PIA$ ~ $\Delta PCN\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{PI}}{{PC}} = \dfrac{{PA}}{{PN}} \Rightarrow PI.PN = PA.PC$

3) Gọi D’ là giao điểm của AN và IC

Ta có INAC nội tiếp nên $\angle NIC = \angle NAC$ (cùng chắn NC)

Mà $\angle NAC = \angle NMA$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AN)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle NID' = \angle NMA\\ \Rightarrow ID'\parallel MA\end{array}$

Mà I là trung điểm của MN nên D’ là trung điểm của AN

$\Rightarrow D \equiv D'$ hay ba điểm C, D, I thẳng hàng.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.