Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến PMN không đi qua tâm O (PM < PN) và hai
Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến PMN không đi qua tâm O (PM < PN) và hai tiếp tuyến PA, PB (A, B là các tiếp điểm ). Gọi I là trung điểm của MN. Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB, đường thẳng d cắt tia PA tại điểm C.
1) Chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp.
2) Chứng minh \(PI.PN = PA.PC\)
3) Gọi D là trung điểm của AN. Chứng minh ba điểm C, D, I thẳng hàng.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
1) Do PA, PB là tiếp tuyến nên \(\angle OAP = \angle OBP = {90^0}\)
Xét tứ giác PAOB có \(\angle OAP + \angle OBP = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác PAOB nội tiếp (dhnb)
2) Do I là trung điểm của MN nên \(OI \bot MN \Rightarrow \angle OIP = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle OIP + \angle OAP = {90^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OIPA nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle AIP = \angle AOP = \angle BAP\)
Mà \(\angle BAP = \angle NCP\) (đồng vị)
\( \Rightarrow \angle AIP = \angle NCP \Rightarrow NIAC\) nội tiếp
Xét \(\Delta PIA\) và \(\Delta PCN\) có \(\angle AIP = \angle NCP\) và \(\angle NPC\) chung
\( \Rightarrow \Delta PIA\)~\(\Delta PCN\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{PI}}{{PC}} = \dfrac{{PA}}{{PN}} \Rightarrow PI.PN = PA.PC\)
3) Gọi D’ là giao điểm của AN và IC
Ta có INAC nội tiếp nên \(\angle NIC = \angle NAC\) (cùng chắn NC)
Mà \(\angle NAC = \angle NMA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AN)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle NID' = \angle NMA\\ \Rightarrow ID'\parallel MA\end{array}\)
Mà I là trung điểm của MN nên D’ là trung điểm của AN
\( \Rightarrow D \equiv D'\) hay ba điểm C, D, I thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
