Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến PMN không đi qua tâm O (PM < PN) và hai
Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến PMN không đi qua tâm O (PM < PN) và hai tiếp tuyến PA, PB (A, B là các tiếp điểm ). Gọi I là trung điểm của MN. Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB, đường thẳng d cắt tia PA tại điểm C.
1) Chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp.
2) Chứng minh \(PI.PN = PA.PC\)
3) Gọi D là trung điểm của AN. Chứng minh ba điểm C, D, I thẳng hàng.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
1) Do PA, PB là tiếp tuyến nên \(\angle OAP = \angle OBP = {90^0}\)
Xét tứ giác PAOB có \(\angle OAP + \angle OBP = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác PAOB nội tiếp (dhnb)
2) Do I là trung điểm của MN nên \(OI \bot MN \Rightarrow \angle OIP = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle OIP + \angle OAP = {90^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OIPA nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle AIP = \angle AOP = \angle BAP\)
Mà \(\angle BAP = \angle NCP\) (đồng vị)
\( \Rightarrow \angle AIP = \angle NCP \Rightarrow NIAC\) nội tiếp
Xét \(\Delta PIA\) và \(\Delta PCN\) có \(\angle AIP = \angle NCP\) và \(\angle NPC\) chung
\( \Rightarrow \Delta PIA\)~\(\Delta PCN\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{PI}}{{PC}} = \dfrac{{PA}}{{PN}} \Rightarrow PI.PN = PA.PC\)
3) Gọi D’ là giao điểm của AN và IC
Ta có INAC nội tiếp nên \(\angle NIC = \angle NAC\) (cùng chắn NC)
Mà \(\angle NAC = \angle NMA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AN)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle NID' = \angle NMA\\ \Rightarrow ID'\parallel MA\end{array}\)
Mà I là trung điểm của MN nên D’ là trung điểm của AN
\( \Rightarrow D \equiv D'\) hay ba điểm C, D, I thẳng hàng.
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
