Cho hình chữ nhật \(ABCD(AB < BC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Tiếp tuyến của

Câu hỏi số 722226:

Vận dụng

Cho hình chữ nhật \(ABCD(AB < BC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(C\) cắt đường thẳng \(AB\) tại điểm \(M\). Đường thẳng \(MD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điển \(N\left( {N \ne D} \right)\)Gọi điểm \(P\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AN\) và \(CM\). Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm \(M,B,N,P\) cùng thuộc một đường tròn;

b) Ba đường thẳng \(AN,BC,OM\) đồng quy tại một điểm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722226

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle BMC + \angle BCM = 90^\circ \\\angle BCM + \angle ACB = 90^\circ \\\angle ACB = \angle ANB = \dfrac{1}{2}{\rm{sd}}\,{\rm{cung}}\,{\rm{AB}}\end{array} \right. \Rightarrow \angle BMP = \angle ANB\)

Mà \(\angle ANB + \angle BNP = 180^\circ \Rightarrow \angle BNP + \angle BMP = 180^\circ \)

Do đó \(BNPM\) nội tiếp (đpcm)

b) Vì \(BNPM\) nội tiếp nên \(\angle BPM = \angle BNM = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta BMP\)~\(\Delta CMB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{BM}}{{MP}} = \dfrac{{CM}}{{MB}}\) (1)

Ta có: \(B{C^2} = CP.CM = AB.BM \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{MB}} = \dfrac{{AB}}{{PC}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{BM}}{{MP}} = \dfrac{{AB}}{{PC}} \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BM}} = \dfrac{{PC}}{{MP}}\)

Khi đó \(\dfrac{{AB}}{{BM}}.\dfrac{{PM}}{{PC}}.\dfrac{{OC}}{{OA}} = \dfrac{{PC}}{{MP}}.\dfrac{{PM}}{{PC}}.\dfrac{{OC}}{{OA}} = 1\)

Suy ra \(AP,\,\,OM,\,\,BC\) đồng quy (theo định lý Ceva)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.