1) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là một điểm cố định trên đoạn thẳng AO ( H

Câu hỏi số 722242:

Vận dụng cao

1) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là một điểm cố định trên đoạn thẳng AO ( H khác A và O ). Kẻ dây cung CD vuông góc với AB tại H. Lấy điểm G trên đoạn thẳng CH ( G khác C và H ), tia AG cắt đường tròn (O) tại E (E khác A). Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD. Đoạn thẳng AK cắt đường tròn (O) tại F (F khác A ).

a) Chứng minh tứ giác BEGH nội tiếp.

b) Chứng minh $KC.KD = KE.KB$ và ba điểm B, G, F thẳng hàng.

c) Tia EH cắt đường tròn (O) tại Q (Q khác E). Chứng minh $HF = HQ$ .

d) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên đường thẳng EF. Chứng minh khi G thay đổi trên đoạn CH và thỏa mãn các điều kiện của bài toán thì $\sqrt {\dfrac{{3MN}}{{HE + HF}}}$ luôn không đổi.

2) Một hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy và có thể tích bằng $16\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$ . Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722242

Phương pháp giải

1) Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

2) Áp dụng các công thức $V = \pi {r^2}h$ và $S = 2\pi rh.$

Giải chi tiết

a) Do $CH \bot AB \Rightarrow \angle GHB = {90^0}$

$\angle AEB = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\angle GEB + \angle GHB = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác BEGH nội tiếp.

b) Xét $\Delta KBC$ và $\Delta KDE$ có $\angle BKD$ chung

$\angle KBC = \angle KDE$ (cùng chắn cung CE)

$\Rightarrow \Delta KBC$ ~ $\Delta KDE\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{KB}}{{KD}} = \dfrac{{KC}}{{KE}} \Rightarrow KB.KE = KD.KC\left( {dpcm} \right)$

Xét $\Delta ABK$ có AH, AE là đường cao cắt nhau tại G nên G là trực tâm

$\Rightarrow BG \bot AK$

Mà $BF \bot AF$ ( $\angle BFA = {90^0}$ )

$\Rightarrow B,G,F$ thẳng hàng

c) $\angle AHG + \angle AFG = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow HGFA$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle BAG = \angle HFG$ (cùng chắn GH)

Mà $\angle BQH = \angle BAE$ (cùng chắn BE)

$\Rightarrow \angle HFG = \angle BQH$ (1)

Tương tự $\angle QBH = \angle QEA = \angle HBG$ (HBEG nội tiếp)

$\Rightarrow \angle QBH = \angle FBH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\angle FHB = \angle QHB$

Xét $\Delta HBQ$ và $\Delta HBF$ có $\angle FHB = \angle QHB$ , $\angle QBH = \angle FBH$ và HB chung

$\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta HBQ = \Delta HBF\left( {g.c.g} \right)\\ \Rightarrow HF = HQ\end{array}$

d) Gọi I là giao điểm của BN và (O)

$\Rightarrow \angle AIB = \angle AIN = {90^0}$

$\Rightarrow AMNI$ là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)

$\Rightarrow MN = AI$

Ta có

$\begin{array}{l}\angle OAI = {90^0} - \angle IBA\\ = {90^0} - \angle ABK - \angle KBN\\ = {90^0} - \angle ABK - \left( {{{90}^0} - \angle BEN} \right)\\ = {90^0} - \angle ABK - \left( {{{90}^0} - \angle FEK} \right)\\ = \angle FEK - \angle ABK\\ = \angle KAB - \angle ABK & \left( 1 \right)\end{array}$

Lại có

$\begin{array}{l}\angle OEQ = \angle OEA - \angle HEA\\ = \angle EAO - \angle ABQ\\ = {90^0} - \angle ABK - \angle ABQ\\ = \angle QAB - \angle ABK\\ = \angle KAB - \angle ABK & \left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra $\angle OAI = \angle OEQ$

Mà $\Delta OEI,OEQ$ là các tam giác cân tại O và $OE = OI = OQ = OA \Rightarrow \Delta OIA = \Delta OEQ$

$\begin{array}{l} \Rightarrow AI = QE\\ \Leftrightarrow MN = HQ + HF\\ \Leftrightarrow MN = HF + HE\end{array}$

$\Rightarrow \sqrt {\dfrac{{3MN}}{{HE + HF}}} = \sqrt {\dfrac{{3MN}}{{MN}}} = \sqrt 3$

Vậy $\sqrt {\dfrac{{3MN}}{{HE + HF}}}$ không đổi

2) Gọi bán kính hình trụ là r (cm) $\left( {r > 0} \right)$

Suy ra chiều cao hình trụ là $h = 2r$

Thể tích hình trụ là $V = \pi {r^2}.h = \pi .{r^2}.2r = 2\pi {r^3}$

Do thể tích hình trụ bằng $16\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$ nên ta có $2\pi {r^3} = 16\pi \Leftrightarrow {r^3} = 8 \Leftrightarrow r = 2\left( {cm} \right)$

Vậy diện tích xung quanh hình trụ bằng $S = 2\pi rh = 2\pi .2.4 = 16\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.