Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
1) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là một điểm cố định trên đoạn thẳng AO ( H
1) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là một điểm cố định trên đoạn thẳng AO ( H khác A và O ). Kẻ dây cung CD vuông góc với AB tại H. Lấy điểm G trên đoạn thẳng CH ( G khác C và H ), tia AG cắt đường tròn (O) tại E (E khác A). Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD. Đoạn thẳng AK cắt đường tròn (O) tại F (F khác A ).
a) Chứng minh tứ giác BEGH nội tiếp.
b) Chứng minh \(KC.KD = KE.KB\) và ba điểm B, G, F thẳng hàng.
c) Tia EH cắt đường tròn (O) tại Q (Q khác E). Chứng minh \(HF = HQ\).
d) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên đường thẳng EF. Chứng minh khi G thay đổi trên đoạn CH và thỏa mãn các điều kiện của bài toán thì \(\sqrt {\dfrac{{3MN}}{{HE + HF}}} \) luôn không đổi.
2) Một hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy và có thể tích bằng \(16\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\). Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
1) Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
2) Áp dụng các công thức \(V = \pi {r^2}h\) và \(S = 2\pi rh.\)
a) Do \(CH \bot AB \Rightarrow \angle GHB = {90^0}\)
\(\angle AEB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\angle GEB + \angle GHB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác BEGH nội tiếp.
b) Xét \(\Delta KBC\) và \(\Delta KDE\) có \(\angle BKD\) chung
\(\angle KBC = \angle KDE\) (cùng chắn cung CE)
\( \Rightarrow \Delta KBC\)~ \(\Delta KDE\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{KB}}{{KD}} = \dfrac{{KC}}{{KE}} \Rightarrow KB.KE = KD.KC\left( {dpcm} \right)\)
Xét \(\Delta ABK\) có AH, AE là đường cao cắt nhau tại G nên G là trực tâm
\( \Rightarrow BG \bot AK\)
Mà \(BF \bot AF\) (\(\angle BFA = {90^0}\))
\( \Rightarrow B,G,F\) thẳng hàng
c) \(\angle AHG + \angle AFG = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow HGFA\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle BAG = \angle HFG\) (cùng chắn GH)
Mà \(\angle BQH = \angle BAE\) (cùng chắn BE)
\( \Rightarrow \angle HFG = \angle BQH\) (1)
Tương tự \(\angle QBH = \angle QEA = \angle HBG\) (HBEG nội tiếp)
\( \Rightarrow \angle QBH = \angle FBH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle FHB = \angle QHB\)
Xét \(\Delta HBQ\) và \(\Delta HBF\) có \(\angle FHB = \angle QHB\), \(\angle QBH = \angle FBH\) và HB chung
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta HBQ = \Delta HBF\left( {g.c.g} \right)\\ \Rightarrow HF = HQ\end{array}\)
d) Gọi I là giao điểm của BN và (O)
\( \Rightarrow \angle AIB = \angle AIN = {90^0}\)
\( \Rightarrow AMNI\) là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
\( \Rightarrow MN = AI\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\angle OAI = {90^0} - \angle IBA\\ = {90^0} - \angle ABK - \angle KBN\\ = {90^0} - \angle ABK - \left( {{{90}^0} - \angle BEN} \right)\\ = {90^0} - \angle ABK - \left( {{{90}^0} - \angle FEK} \right)\\ = \angle FEK - \angle ABK\\ = \angle KAB - \angle ABK & \left( 1 \right)\end{array}\)
Lại có
\(\begin{array}{l}\angle OEQ = \angle OEA - \angle HEA\\ = \angle EAO - \angle ABQ\\ = {90^0} - \angle ABK - \angle ABQ\\ = \angle QAB - \angle ABK\\ = \angle KAB - \angle ABK & \left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle OAI = \angle OEQ\)
Mà \(\Delta OEI,OEQ\) là các tam giác cân tại O và \(OE = OI = OQ = OA \Rightarrow \Delta OIA = \Delta OEQ\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AI = QE\\ \Leftrightarrow MN = HQ + HF\\ \Leftrightarrow MN = HF + HE\end{array}\)
\( \Rightarrow \sqrt {\dfrac{{3MN}}{{HE + HF}}} = \sqrt {\dfrac{{3MN}}{{MN}}} = \sqrt 3 \)
Vậy \(\sqrt {\dfrac{{3MN}}{{HE + HF}}} \) không đổi
2) Gọi bán kính hình trụ là r (cm) \(\left( {r > 0} \right)\)
Suy ra chiều cao hình trụ là \(h = 2r\)
Thể tích hình trụ là \(V = \pi {r^2}.h = \pi .{r^2}.2r = 2\pi {r^3}\)
Do thể tích hình trụ bằng \(16\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\) nên ta có \(2\pi {r^3} = 16\pi \Leftrightarrow {r^3} = 8 \Leftrightarrow r = 2\left( {cm} \right)\)
Vậy diện tích xung quanh hình trụ bằng \(S = 2\pi rh = 2\pi .2.4 = 16\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
