Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=a+b+c+2. Chứng minh: \(\dfrac{1}{{\sqrt {{a^2} +

Câu hỏi số 722243:
Vận dụng cao

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=a+b+c+2.

Chứng minh: 1a2+b2+1b2+c2+1c2+a2324.

Quảng cáo

Câu hỏi:722243
Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Bunhia và BĐT Côsi.

Giải chi tiết

Đặt P=1a2+b2+1b2+c2+1c2+a2

Từ giả thiết ta có:

(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(a+1)(c+1)=(a+1)(b+1)(c+1)

1a+1+1b+1+1c+1=1

Đặt 11+a=xa=1x1=1xx=y+zx;(vi:x+y+z=1,x,y,z>0)

Tương tự 11+b=yb=x+zy;11+c=zc=x+yz

Mặt khác Áp dụng BĐT Bunhia dãy 1:a,b dãy 2:1,1 và BĐT Côsi ta có

2(a2+b2)(a+b)2a2+b2a+b22ab2=2ab

Tương tự b2+c22bc;a2+c22ac

Nên P=1a2+b2+1b2+c2+1c2+a212(1ab+1cb+1ac)=Q

Thay a=y+zx;b=x+zy;c=x+yz ta có

Q=12(xy(x+z)(x+z)+yz(x+y)(x+z)+xz(x+y)(y+z))

Áp dụng BĐT ABA+B2 ta có

Q122(xx+z+yy+z+yx+y+zx+z+xx+y+zy+z)

=122(x+zx+z+y+zy+z+x+yx+y)=322=324 (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com


agent avatar
Tuyensinh247.com - 18006947
Luôn sẵn sàng hỗ trợ!
Tuyensinh247.com - 18006947
Tuyensinh247.com - 18006947
agent avatar
Luôn sẵn sàng hỗ trợ!
Em để lại tên và SĐT nhé! Tuyensinh247.com sẽ hỗ trợ tốt nhất cho em!