Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 8cm. Trên đường thẳng d vuông góc với AB tại B, lấy

Câu hỏi số 722247:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 8cm. Trên đường thẳng d vuông góc với AB tại B, lấy một điểm C bất kỳ (C khác B ). Nối AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác A). Gọi H là trung điểm của AD.

a) Chứng minh OBCH là tứ giác nội tiếp.

b) Đường thẳng OH cắt d tại E. Chứng minh $BC \cdot BE = BO \cdot BA$ .

c) Khi $BC = 6\;{\rm{cm}}$ , tính diện tích tam giác CHE.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722247

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Do H là trung điểm AD nên $OH \bot AD \Rightarrow \angle OHC = {90^0}$

Lại có $\angle OBC = {90^0}\left( {CB \bot AB} \right) \Rightarrow \angle OBC + \angle OHC = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OBCH nội tiếp (dhnb)

b) Xét $\Delta OBE$ và $\Delta OHA$ có $\angle {O_1} = \angle {O_2}$ đối đỉnh

$\angle OHA = \angle OBE = {90^0}$

$\Rightarrow \Delta OBE$ ~ $\Delta OHA\left( {g.g} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle HAO = \angle OEB\\\angle ABC = \angle OBE\left( { = {{90}^0}} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ ~ $\Delta EBO\left( {g.g} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BE}} = \dfrac{{BC}}{{BO}}\\ \Rightarrow BE.BC = BO.AB\left( {dpcm} \right)\end{array}$

c) $AC = \sqrt {B{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10cm$

Ta có $\angle ADB = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B, đường cao BD

$\Rightarrow B{C^2} = CD.CA \Rightarrow CD = \dfrac{{C{B^2}}}{{CA}} = \dfrac{{{6^2}}}{{10}} = \dfrac{{18}}{5}cm$

$\Rightarrow AD = 10 - \dfrac{{18}}{5} = \dfrac{{32}}{5}cm \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{{16}}{5}cm$

$\Rightarrow OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}} = \dfrac{{12}}{5}cm$

Ta có $BE.BC = BO.AB \Rightarrow BE = \dfrac{{BO.AB}}{{BC}} = \dfrac{{4.8}}{6} = \dfrac{{16}}{3}cm$

$\Rightarrow OE = \sqrt {B{E^2} + O{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{16}}{3}} \right)}^2} + {4^2}} = \dfrac{{20}}{3}cm$

$\Rightarrow EH = OH + OE = \dfrac{{12}}{5} + \dfrac{{20}}{3} = \dfrac{{136}}{{15}}cm$

$CH = HD + CD = AH + CD = \dfrac{{16}}{5} + \dfrac{{18}}{5} = \dfrac{{34}}{5}cm$

$\Rightarrow {S_{\Delta CHE}} = \dfrac{1}{2}EH.HC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{136}}{{15}}.\dfrac{{34}}{5} = \dfrac{{2312}}{{75}}c{m^2}$

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.