Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y \le 1\).a) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}
Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y \le 1\).
a) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{7}{{4xy}} + 4xy\).
a) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)
\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy\) (vì \(x,y\) dương)
\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 4xy \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0\) (luôn đúng)
\( \Rightarrow \)đpcm
b) Ta có \({(x - y)^2} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 4xy \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{(x + y)}^2}}} \le \dfrac{1}{{4xy}}\)
\(S = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{7}{{4xy}} + 4xy = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}} + \dfrac{1}{{4xy}} + 4xy + \dfrac{1}{{xy}}\)
\( \Rightarrow S \ge \dfrac{4}{{{{(x + y)}^2}}} + 2\sqrt {\dfrac{1}{{4xy}} \cdot 4xy} + \dfrac{4}{{{{(x + y)}^2}}}\)= 4 + 2 + 4 = 10
Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\)
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
