Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y \le 1\).a) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}

Câu hỏi số 722248:
Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y \le 1\).

a) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\).

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{7}{{4xy}} + 4xy\).

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)

\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy\) (vì \(x,y\) dương)

\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 4xy \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0\) (luôn đúng)

\( \Rightarrow \)đpcm

b) Ta có \({(x - y)^2} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 4xy \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{(x + y)}^2}}} \le \dfrac{1}{{4xy}}\)

\(S = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{7}{{4xy}} + 4xy = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}} + \dfrac{1}{{4xy}} + 4xy + \dfrac{1}{{xy}}\)

\( \Rightarrow S \ge \dfrac{4}{{{{(x + y)}^2}}} + 2\sqrt {\dfrac{1}{{4xy}} \cdot 4xy}  + \dfrac{4}{{{{(x + y)}^2}}}\)= 4 + 2 + 4 = 10

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\)

Câu hỏi:722248

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com