Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x + y \le 1$ .a) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}

Câu hỏi số 722248:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x + y \le 1$ .

a) Chứng minh rằng $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}$ .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{7}{{4xy}} + 4xy$ .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722248

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}}$

$\Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy$ (vì $x,y$ dương)

$\Leftrightarrow {(x + y)^2} - 4xy \ge 0$

$\Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow$ đpcm

b) Ta có ${(x - y)^2} \ge 0$

$\Leftrightarrow {(x + y)^2} - 4xy \ge 0$

$\Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{(x + y)}^2}}} \le \dfrac{1}{{4xy}}$

$S = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{7}{{4xy}} + 4xy = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}} + \dfrac{1}{{4xy}} + 4xy + \dfrac{1}{{xy}}$

$\Rightarrow S \ge \dfrac{4}{{{{(x + y)}^2}}} + 2\sqrt {\dfrac{1}{{4xy}} \cdot 4xy} + \dfrac{4}{{{{(x + y)}^2}}}$ = 4 + 2 + 4 = 10

Dấu “=” xảy ra khi $x = y = \dfrac{1}{2}$

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Tel:
024.7300.7989
Hotline:
1800.6947

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x + y \le 1$ .a) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho các số thực dương x,yx,y thỏa mãn x+y≤1x + y \le 1.a) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x + y \le 1$ .a) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}