Cho phương trình \({{\rm{x}}^2} - 2(\;{\rm{m}} + 3){\rm{x}} + {{\rm{m}}^2} + 3\;{\rm{m}} - 4 = 0\) ( \({\rm{m}}\)

Câu hỏi số 722256:

Vận dụng

Cho phương trình \({{\rm{x}}^2} - 2(\;{\rm{m}} + 3){\rm{x}} + {{\rm{m}}^2} + 3\;{\rm{m}} - 4 = 0\) ( \({\rm{m}}\) là tham số). Tìm giá trị của \({\rm{m}}\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2}\) thỏa mãn \(\dfrac{{{{\rm{x}}_1} - 8}}{{{{\rm{x}}_2}}} + \dfrac{{{{\rm{x}}_2} - 8}}{{{{\rm{x}}_1}}} = \dfrac{4}{3}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722256

Phương pháp giải

Áp dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 3} \right)} \right]^2} - 1.\left( {{m^2} + 3m - 4} \right) = {m^2} + 6m + 9 - {m^2} - 3m + 4 = 3m + 13 > 0 \Leftrightarrow m > - \dfrac{{13}}{3}\)

\( \Rightarrow \)Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2}\) khi \(m > - \dfrac{{13}}{3}\)

Áp dụng định lí Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2\left( {m + 3} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {{\rm{m}}^2} + 3\;{\rm{m}} - 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\dfrac{{{{\rm{x}}_1} - 8}}{{{{\rm{x}}_2}}} + \dfrac{{{{\rm{x}}_2} - 8}}{{{{\rm{x}}_1}}} = \dfrac{4}{3}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x_1} - 8} \right){x_1}}}{{{x_1}.{x_2}}} + \dfrac{{\left( {{x_2} - 8} \right){x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \dfrac{{4{x_1}.{x_2}}}{{3{x_1}.{x_2}}}\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {{x_1}^2 - 8{x_1} + {x_2}^2 - 8{x_2}} \right) = 4{x_1}.{x_2}\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) - 24\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4{x_1}.{x_2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 24\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 10{x_1}.{x_2} = 0\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào phương trình trên ta có:\( \Leftrightarrow 3.4{\left( {m + 3} \right)^2} - 24.2\left( {m + 3} \right) - 10\left( {{m^2} + 3m - 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 12{m^2} + 72m + 108 - 48m - 144 - 10{m^2} - 30m + 40 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 6m + 4 = 0\)

Nhân thấy \(2 + \left( { - 6} \right) + 4 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\) (tm)

Vậy với \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2}\) thỏa mãn \(\dfrac{{{{\rm{x}}_1} - 8}}{{{{\rm{x}}_2}}} + \dfrac{{{{\rm{x}}_2} - 8}}{{{{\rm{x}}_1}}} = \dfrac{4}{3}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.