Cho hàm số $y=\dfrac{m x^2-m x+1}{x-1}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

Câu hỏi số 722794:

Vận dụng

Cho hàm số $y=\dfrac{m x^2-m x+1}{x-1}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ đế đồ thị hàm số $y=\dfrac{m x^2-m x+1}{x-1}$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía cúa trục hoành.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722794

Giải chi tiết

$y=\frac{m x^2-m x+1}{x-1}(1)$

Tập xác định: $D=\mathbb{R} \backslash\{1\}$.

$y=mx+\dfrac{1}{x-1} \Rightarrow y^{\prime}=m-\dfrac{1}{(x-1)^2},(x \neq 1)$

Để hàm số (1) có hai điểm cực trị thì $y^{\prime}=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1 .

$\Leftrightarrow m(x-1)^2=1$ có hai nghiệm phân biệt. $\Leftrightarrow m>0$

Khi $m>0$ thì đồ thị hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị nằm trên đường thẳng $d: y=2mx-m$.

Khi $m>0$ gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là $A, B$.

Suy ra $A\left(x_1 ; 2 m x_1-m\right), B\left(x_2 ; 2 m x_2-m\right)$ với $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $m(x-1)^2=1 \Leftrightarrow m x^2-2 m x+m-1=0$

Ta có: $y_A \cdot y_B=\left(2mx_1-m\right)\left(2mx_2-m\right)=m^2\left(2 x_1-1\right)\left(2x_2-1\right)=m^2\left(4 x_1 x_2-2\left(x_1+x_2\right)+1\right)$

Áp dụng định lý Viet ta có: $x_1 x_2=\dfrac{m-1}{m} ; x_1+x_2=2$

Suy ra $y_A \cdot y_B=m^2\left(\dfrac{4 m-4}{m}-4+1\right)=m(m-4)$.

Đế $A, B$ nằm khác phía so với trục hoành thì $y_A \cdot y_B<0 \Leftrightarrow 0<m<4, m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{1 ; 2 ; 3\}$.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.