Cho tam giác \(ABC\). Vẽ các đường cao \(BM,CN\) cắt nhau tại \(H\).a) Chứng minh rằng 4 điểm

Câu hỏi số 722943:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\). Vẽ các đường cao \(BM,CN\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng 4 điểm \(A,M,H,N\) cùng nằm trên một đường tròn tâm \(O\).
b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh \(IM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722943

Phương pháp giải

a) Dựa vào tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.

b) Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến.

Giải chi tiết

a) Gọi O là trung điểm của AH.

Xét \(\Delta AMH\) vuông tại M có MO là đường trung tuyến nên \(MO = AO = HO\)

Suy ra A, M, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Chứng minh tương tự A, N, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Vậy bốn điểm \(A,M,H,N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\).
b) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\). Mà \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) (\(H\) là giao điểm của hai đường cao) nên \(AK \bot BC\).
Ta có \(\Delta HBK\) vuông tại \(K\) nên \(\angle {HBK} + \angle {KHB} = 90^\circ .\)

Mà \(\angle {KHB} = \angle {MHO}\) (đối đỉnh), \(\angle {OHM} = \angle {OMH}\) (do \(OH = OM\)).
Lại có \(\Delta MBC\) vuông tại \(M\) có \(MI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(MI = BI = \dfrac{1}{2}BC \Rightarrow \angle {HBK} = \angle {HMI}\).

Từ đó suy ra \(\angle {OMH} + \angle {HMI} = 90^\circ \Rightarrow OM \bot MI\) tại \(M\).

Suy ra \(MI\) là tiếp tuyến của (O).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.